МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048200

Что здесь происходит. Пузырёк воздуха всплывает с глубины $30$ м на глубину $20$ м. Чем выше он поднимается, тем меньше вода давит на него — и тем сильнее он раздувается. Объём на глубине $20$ м известен, а найти нужно, каким пузырёк был глубже, на $30$ м.

Шаг 1 — какой закон. Воздух внутри пузырька никуда не уходит — масса постоянна. Пузырёк поднимается медленно и всё время имеет температуру воды, а она постоянна. Для идеального газа постоянной массы при постоянной температуре работает закон Бойля — Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2,$$

где $p_1$ — давление воздуха в пузырьке на глубине $H$, $p_2$ — на глубине $h$.

Шаг 2 — чему равно давление в пузырьке. Поверхностное натяжение не учитываем, поэтому оболочка пузырька ничего «не держит», и давление воздуха внутри равно давлению воды вокруг. А давление воды на глубине складывается из атмосферного давления, которое давит на поверхность озера, и давления столба воды над пузырьком:

$$p=p_0+\rho gh_{\text{глуб}}.$$

Берём $p_0=10^5$ Па, плотность воды $\rho=1000$ кг/м³, $g=10$ м/с².

Шаг 3 — считаем давления. На глубине $H=30$ м:

$$p_1=10^5+1000\cdot10\cdot30=10^5+3\cdot10^5=4\cdot10^5\ \text{Па}.$$

На глубине $h=20$ м:

$$p_2=10^5+1000\cdot10\cdot20=10^5+2\cdot10^5=3\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Шаг 4 — находим объём. Из закона Бойля — Мариотта

$$V_1=V_2\cdot\dfrac{p_2}{p_1}=10\cdot\dfrac{3\cdot10^5}{4\cdot10^5}=10\cdot0{,}75=7{,}5\ \text{мм}^3.$$

Объём можно не переводить в м³: он стоит в обеих частях равенства, и ответ получается в тех же единицах, в каких дан $V_2$.

Проверим себя. На большей глубине давление больше, значит, пузырёк там меньше: $7{,}5\ \text{мм}^3\lt10\ \text{мм}^3$ — так и есть. Подстановка: $p_1V_1=4\cdot10^5\cdot7{,}5=3\cdot10^6$ и $p_2V_2=3\cdot10^5\cdot10=3\cdot10^6$ (в единицах Па·мм³) — совпало. Если взять $p_0=1{,}013\cdot10^5$ Па и $g=9{,}8$ м/с², получится $\approx7{,}52\ \text{мм}^3$ — тот же ответ с точностью до округления.

Почему модель законна. Воздух при таких давлениях ведёт себя как идеальный газ (это сказано в условии). Масса воздуха в пузырьке не меняется, температура постоянна — значит, процесс изотермический. Поверхностное натяжение отброшено, поэтому давление в пузырьке равно гидростатическому давлению воды на его глубине; вода покоится, и для неё верна формула давления столба жидкости.