МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048198

Что здесь происходит. Трубочка стоит запаянным концом вниз; столбик ртути посередине, над ним и под ним — по столбику воздуха длиной $l$. Верхний открытый конец затыкают пробкой и кладут трубочку набок. Ртуть больше не давит своим весом вдоль трубки, давления порций выравниваются, и столбик сдвигается на $d$. По этому сдвигу нужно найти атмосферное давление.

Шаг 1 — давления в начале. Верхняя порция (у открытого конца) в момент закупоривания сообщалась с атмосферой: её давление $p_0$. Нижняя порция (у запаянного дна) держит на себе столбик ртути и атмосферу над ним, поэтому её давление больше на давление ртутного столба: $p_0+\rho gh$. Обе порции длиной $l$.

Шаг 2 — давления в конце. Трубочка горизонтальна, вес ртути направлен поперёк трубки, поэтому в равновесии давления порций по обе стороны столбика одинаковы. Обозначим это общее давление $p$.

Шаг 3 — куда сдвинулась ртуть. Порция у запаянного конца была сжата сильнее (её давление было больше). Когда давления выровнялись, она расширилась, а порция у пробки сжалась. Значит, длины стали $l+d$ (у запаянного конца) и $l-d$ (у пробки).

Шаг 4 — закон Бойля — Мариотта для каждой порции (массы и температура постоянны, сечение одно):

$$(p_0+\rho gh)\,l=p\,(l+d),\qquad p_0\,l=p\,(l-d).$$

Шаг 5 — исключаем неизвестное $p$. Разделим первое уравнение на второе:

$$\dfrac{p_0+\rho gh}{p_0}=\dfrac{l+d}{l-d}\quad\Rightarrow\quad1+\dfrac{\rho gh}{p_0}=\dfrac{l+d}{l-d}.$$

Вычтем единицу справа: $\dfrac{l+d}{l-d}-1=\dfrac{2d}{l-d}$. Получаем $\dfrac{\rho gh}{p_0}=\dfrac{2d}{l-d}$, откуда

$$p_0=\dfrac{\rho gh(l-d)}{2d}.$$

В миллиметрах ртутного столба (если $h$ в миллиметрах) $\rho gh$ — это просто $h$: $p_0=\dfrac{h(l-d)}{2d}$ мм рт. ст.

Проверим себя на числах. Пусть $l=20$ см, $h=10$ см и атмосферное давление $75$ см рт. ст.; формула даёт $75=\dfrac{10(20-d)}{2d}$, откуда $d=1{,}25$ см. Проверка законом Бойля — Мариотта: $85\cdot20=1700=p\cdot21{,}25$ даёт $p=80$; $75\cdot20=1500=p\cdot18{,}75$ даёт тоже $p=80$ см рт. ст. Давления сошлись, и $80$ лежит между $75$ и $85$ — как и должно быть.

Почему модель законна. Воздух в обеих порциях — идеальный газ постоянной массы, температура постоянна (поворачивают медленно), поэтому для каждой порции верен закон Бойля — Мариотта. Сечение постоянно, объём пробки не учитываем. Ртуть в начале и в конце покоится: в вертикальной трубке давление под столбиком больше на $\rho gh$, в горизонтальной давления по обе стороны равны.