МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048197

Что здесь происходит. Перевёрнутый «стакан» с воздухом закрыт снизу подвижным тяжёлым поршнем и плавает. Его держит на плаву воздух: он вытесняет воду. Если стакан утопить глубже, вода сильнее давит на поршень снизу, поршень поднимается, воздух сжимается — и выталкивающая сила уменьшается. На глубине $2$ м выталкивающая сила стала равна весу — дальше стакан уже не всплывёт. Зная это, можно найти объём и давление воздуха, а по ним — его температуру.

Шаг 1 — объём воздуха в момент потери плавучести. Цилиндр тонкостенный, объёмом поршня пренебрегаем, поэтому воду вытесняет только воздух объёмом $V$. Масса цилиндра и воздуха много меньше массы поршня, поэтому весь вес системы — это $mg$. Плавучесть теряется, когда сила Архимеда сравнялась с весом:

$$\rho gV=mg\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{2}{1000}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^3.$$

Шаг 2 — давление воздуха. Рассмотрим поршень. Пусть $S$ — площадь сечения цилиндра, $L$ — высота воздушного столба, тогда $V=SL$, а поршень находится на глубине $h+L$ (глубина $h$ отсчитана до верхней крышки). На поршень действуют: вода снизу вверх с силой $\left(p_0+\rho g(h+L)\right)S$, воздух сверху вниз с силой $pS$ и сила тяжести $mg$. Поршень в равновесии:

$$\left(p_0+\rho g(h+L)\right)S=pS+mg.$$

Из шага 1 $mg=\rho gV=\rho gSL$. Подставим и поделим на $S$:

$$p_0+\rho gh+\rho gL=p+\rho gL\quad\Rightarrow\quad p=p_0+\rho gh.$$

Давление воздуха оказалось равным давлению воды на уровне верхней крышки: $p=10^5+1000\cdot10\cdot2=1{,}2\cdot10^5$ Па.

Шаг 3 — температура. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$:

$$T=\dfrac{pV}{\nu R}=\dfrac{1{,}2\cdot10^5\cdot2\cdot10^{-3}}{0{,}08\cdot8{,}31}=\dfrac{240}{0{,}665}\approx361\ \text{К}.$$

Проверим себя. $361$ К — это около $88\ ^\circ\text{C}$: вода горячая, но жидкая, так что ответ физически возможен. Почему именно граница: если опустить цилиндр чуть глубже, давление воды вырастет, воздух сожмётся, выталкивающая сила станет меньше веса поршня — цилиндр пойдёт ко дну; чуть выше — воздух расширится и вытолкнет цилиндр наверх. Значит, глубина $2$ м — это ровно та точка, где сила Архимеда равна весу.

Почему модель законна. Воздух — идеальный газ, его количество вещества дано, температура постоянна и равна температуре воды. Стенки тонкие, объём поршня не учитываем, поэтому выталкивающая сила определяется объёмом воздуха. Масса цилиндра и воздуха мала по сравнению с массой поршня. Поршень скользит без трения и покоится, поэтому для него выполнено условие равновесия; вода покоится, и давление в ней находится по формуле гидростатики.