МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048195

Что здесь происходит. Горячий воздух в открытом сосуде накрыли поршнем, а поршень подвесили на нити к потолку. Воздух остывает, его давление падает, и снаружи атмосфера начинает сильнее давить на сосуд снизу, чем воздух изнутри. Когда эта разница сил сравняется с весом сосуда, сосуд оторвётся от стола и «повиснет» на поршне. Нужно найти массу сосуда.

Шаг 1 — начальное давление воздуха. Сосуд разогревали открытым, и в момент, когда его прикрыли поршнем, воздух внутри сообщался с атмосферой. Поршень висит на нити и своим весом на воздух не давит. Значит, в начальном состоянии давление воздуха в сосуде равно атмосферному: $p_1=p_0=10^5$ Па.

Шаг 2 — какой это процесс. Нить нерастяжима и держит поршень на месте, сосуд стоит на поверхности и вниз уйти не может, тепловое расширение не учитываем. Поэтому объём воздуха под поршнем не меняется — процесс изохорный. Для данной массы идеального газа при постоянном объёме давление пропорционально абсолютной температуре (закон Шарля):

$$\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{T_2}{T_1}.$$

Температура понизилась на $10\%$ — речь об абсолютной температуре, ведь только для неё верна эта пропорция: $T_2=0{,}9\,T_1$. Тогда $p_2=0{,}9\,p_0$, и давление внутри стало меньше атмосферного на

$$\Delta p=p_0-p_2=0{,}1\,p_0=10^4\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — силы на сосуд. На сосуд действуют: сила тяжести $mg$ вниз; воздух изнутри давит на дно вниз с силой $p_2S$; атмосфера снизу давит на дно вверх с силой $p_0S$; поверхность действует силой реакции $N$ вверх. Силы давления на боковые стенки уравновешивают друг друга. Поршень скользит без трения, поэтому через стенки нить сосуд не держит. Равновесие сосуда:

$$N+p_0S=mg+p_2S\quad\Rightarrow\quad N=mg-(p_0-p_2)S.$$

Шаг 4 — момент отрыва. Сосуд отрывается, когда сила реакции опоры обращается в ноль: $N=0$. Отсюда

$$mg=(p_0-p_2)S=0{,}1\,p_0S\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{0{,}1\,p_0S}{g}.$$

Шаг 5 — считаем. Площадь дна $S=200\ \text{см}^2=200\cdot10^{-4}\ \text{м}^2=0{,}02\ \text{м}^2$:

$$m=\dfrac{0{,}1\cdot10^5\cdot0{,}02}{10}=\dfrac{200}{10}=20\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Разность давлений $10^4$ Па на площади $0{,}02$ м² даёт силу $200$ Н — это как раз вес тела массой $20$ кг. Чем тяжелее сосуд, тем сильнее его пришлось бы охладить, — в формуле масса растёт вместе с $\Delta p$, всё согласовано.

Почему модель законна. Воздух считаем идеальным газом постоянной массы: поршень плотно закрывает сосуд. Объём постоянен, потому что нить нерастяжима, а расширением сосуда и поршня пренебрегаем, — процесс изохорный. Трения между поршнем и стенками нет, поэтому сосуд удерживают только силы давления, сила тяжести и реакция опоры; сосуд покоится в ИСО, и для него записано условие равновесия. Атмосферный воздух проникает под дно сосуда, поэтому снизу на дно действует атмосферное давление.