МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048194

Что здесь происходит. В сосуде под тяжёлым поршнем заперт газ. Пока сосуд стоит, поршень просто лежит на газе. Когда сосуд разгоняется вверх, поршень тоже должен разгоняться вверх — а для этого газ должен толкать его сильнее, чем в покое. Газ сильнее давит, только если его сжать, — поэтому поршень опускается и высота газа становится на $10\%$ меньше. По этому сжатию нужно найти площадь поршня $S$.

Шаг 1 — поршень в покоящемся сосуде. На поршень действуют: снизу газ с силой $p_1S$, сверху наружный воздух с силой $p_0S$ и сила тяжести $mg$. Поршень в равновесии:

$$p_1S=p_0S+mg.$$

Шаг 2 — поршень в ускоряющемся сосуде. Высота газа постоянна, значит, поршень движется вместе с сосудом с тем же ускорением $a$, направленным вверх. По второму закону Ньютона равнодействующая сил на поршень направлена вверх и равна $ma$:

$$p_2S-p_0S-mg=ma\quad\Rightarrow\quad p_2S=p_0S+m(g+a).$$

Шаг 3 — газ. Масса газа и его температура постоянны — работает закон Бойля — Мариотта. Сосуд цилиндрический, объём газа равен $S$, умноженной на высоту столба, поэтому $p_1h_1=p_2h_2$. По условию $h_2=0{,}9h_1$, значит,

$$p_1=0{,}9\,p_2.$$

Обрати внимание: «на $10\%$ меньше высота» не означает «на $10\%$ больше давление» — давление выросло в $\dfrac{1}{0{,}9}$ раза.

Шаг 4 — связываем. Умножим соотношение из шага 3 на $S$ и подставим силы из шагов 1 и 2:

$$p_0S+mg=0{,}9\left(p_0S+m(g+a)\right).$$

Раскроем скобки и соберём слагаемые с $S$ слева:

$$p_0S-0{,}9p_0S=0{,}9mg+0{,}9ma-mg\quad\Rightarrow\quad0{,}1p_0S=m(0{,}9a-0{,}1g).$$

Шаг 5 — считаем ($g=10\ \text{м/с}^2$):

$$S=\dfrac{m(0{,}9a-0{,}1g)}{0{,}1p_0}=\dfrac{20\cdot(0{,}9\cdot3-0{,}1\cdot10)}{0{,}1\cdot3{,}4\cdot10^4}=\dfrac{20\cdot1{,}7}{3400}=\dfrac{34}{3400}=0{,}01\ \text{м}^2.$$

Это $100\ \text{см}^2$ — обычный размер поршня.

Проверим себя. Давление в покое: $p_1=p_0+\dfrac{mg}{S}=3{,}4\cdot10^4+\dfrac{200}{0{,}01}=3{,}4\cdot10^4+2\cdot10^4=5{,}4\cdot10^4$ Па. При ускорении: $p_2=p_0+\dfrac{m(g+a)}{S}=3{,}4\cdot10^4+\dfrac{260}{0{,}01}=6\cdot10^4$ Па. Отношение $\dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{5{,}4}{6}=0{,}9$ — ровно во столько раз уменьшилась высота. Сходится.

Почему модель законна. Разреженный газ считаем идеальным; его масса и температура постоянны — процесс изотермический, и верен закон Бойля — Мариотта. Стенки гладкие — трения о поршень нет, на поршень действуют только силы давления и сила тяжести. Сосуд с землёй не связан, но поршень движется с постоянным ускорением относительно инерциальной системы отсчёта (Земли), поэтому для него записываем второй закон Ньютона в ИСО; поршень движется поступательно, его можно считать материальной точкой.