МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048193

Что здесь происходит. В трубке, запаянной с одного конца, порция воздуха заперта столбиком ртути. Сначала трубка лежит — воздушный столбик длиной $40$ см. Потом трубку ставят отверстием вверх — ртуть теперь сверху, давит на воздух своим весом, и воздух сжимается до $25$ см. По тому, насколько сжался воздух, нужно узнать длину ртутного столбика $l$.

Шаг 1 — какой закон. Масса запертого воздуха не меняется, температура по условию постоянна. Значит, для воздуха работает закон Бойля — Мариотта $pV=\text{const}$. Трубка постоянного сечения $S$, поэтому объём воздуха $V=Sl_{\text{возд}}$, и сечение сокращается:

$$p_1l_1=p_2l_2.$$

Шаг 2 — давление, пока трубка лежит. Ртуть давит своим весом на нижнюю стенку трубки, а вдоль трубки не давит. На столбик ртути с одной стороны давит запертый воздух, с другой — атмосфера через открытый конец. Ртуть в равновесии, значит, давления равны: $p_1=p_0=750$ мм рт. ст. $=75$ см рт. ст.

Шаг 3 — давление, когда трубка стоит отверстием вверх. Теперь на столбик ртути действуют: сверху атмосфера с силой $p_0S$ и сила тяжести ртути $\rho glS$, снизу — запертый воздух с силой $p_2S$. Из равновесия

$$p_2S=p_0S+\rho glS\quad\Rightarrow\quad p_2=p_0+\rho gl.$$

Давление столба ртути высотой $l$ в «миллиметрах ртутного столба» — это просто его высота в миллиметрах (так эта единица и устроена). Удобно всё считать в сантиметрах ртутного столба: $p_0=75$ см рт. ст., давление ртутного столбика — $l$ см рт. ст., и $p_2=75+l$ (см рт. ст.).

Шаг 4 — уравнение. Подставляем в закон Бойля — Мариотта:

$$75\cdot40=(75+l)\cdot25.$$

Слева $3000$. Делим обе части на $25$: $75+l=\dfrac{3000}{25}=120$, откуда $l=120-75=45$ см. В общем виде $l=\dfrac{p_0(l_1-l_2)}{l_2}=\dfrac{75\cdot15}{25}=45$ см.

Проверим себя. В вертикальной трубке давление воздуха $75+45=120$ см рт. ст., и $120\cdot25=3000=75\cdot40$ — закон Бойля — Мариотта выполняется. Воздух сжался ($25\lt40$), потому что давление выросло, — так и должно быть, когда ртуть оказывается сверху. Округлять не пришлось: ответ целый.

Почему модель законна. Воздух в трубке считаем идеальным газом постоянной массы, температура постоянна — процесс изотермический. Трубка гладкая и постоянного сечения: трения о стенки нет, объём воздуха пропорционален длине его столбика. Ртуть покоится, поэтому для неё верно условие равновесия, а давление её столба считается по формуле гидростатики.