МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048186

Что здесь происходит. На дне моря лежит мешок с грузом. В него сверху качают воздух, воздух выдавливает воду через нижнее отверстие, и мешок раздувается. Чем больше объём мешка, тем сильнее его выталкивает вода. Когда объём дошёл до $44$ м³, выталкивающая сила сравнялась с весом всей системы — и мешок оторвался от дна. Нужно найти массу груза.

Шаг 1 — условие всплытия. На систему «мешок + воздух + груз» действуют сила Архимеда (её создаёт только объём воздуха в мешке, объёмом груза и стенок пренебрегаем) и силы тяжести оболочки $M$, груза $m_{\text{г}}$ и закачанного воздуха $m_{\text{в}}$. Мешок отрывается, когда сила Архимеда достигает суммарного веса:

$$\rho gV=(M+m_{\text{г}}+m_{\text{в}})g\quad\Rightarrow\quad m_{\text{г}}=\rho V-M-m_{\text{в}},$$

где $\rho=1000$ кг/м³ — плотность воды, $V=44{,}0$ м³.

Шаг 2 — давление воздуха в мешке. Снизу у мешка открытое отверстие, через которое уходит вода. Значит, воздух внутри давит так же, как вода снаружи на этой глубине, иначе вода продолжала бы входить или выходить. Давление воды на глубине $h=120$ м складывается из атмосферного и давления столба воды:

$$p=p_0+\rho gh=10^5+1000\cdot10\cdot120=10^5+12\cdot10^5=1{,}3\cdot10^6\ \text{Па}.$$

Размер мешка (несколько метров) мал по сравнению с глубиной $120$ м, поэтому давление по высоте мешка считаем одинаковым.

Шаг 3 — масса воздуха. Из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$ при $T=4+273=277$ К и $\mu=0{,}029$ кг/моль:

$$m_{\text{в}}=\dfrac{p V\mu}{RT}=\dfrac{1{,}3\cdot10^6\cdot44\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot277}=\dfrac{1\,658\,800}{2302}\approx721\ \text{кг}.$$

Это заметная масса: сжатый в $13$ раз воздух весит уже сотни килограммов.

Шаг 4 — масса груза:

$$m_{\text{г}}=1000\cdot44-3200-721=44\,000-3921=40\,079\ \text{кг}\approx4\cdot10^4\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Плотность воздуха в мешке $\dfrac{721}{44}\approx16{,}4$ кг/м³. У поверхности при $0\ ^\circ\text{C}$ воздух весит около $1{,}29$ кг/м³; давление здесь в $13$ раз больше, температура почти та же — получаем примерно $1{,}29\cdot13\cdot\dfrac{273}{277}\approx16{,}5$ кг/м³. Сходится. Без учёта воздуха получилось бы $40\,800$ кг — ошибка около $2\%$.

Почему модель законна. Воздух в мешке считаем идеальным газом, его температура равна температуре воды. Вода покоится, поэтому давление в ней на глубине задаётся гидростатикой, а через открытое нижнее отверстие это давление передаётся воздуху. Объём груза и стенок по условию не учитываем — выталкивает только объём воздуха. В момент отрыва от дна сила реакции дна обращается в ноль, и система находится на границе равновесия.