Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048185

Что здесь происходит. Есть одна идеальная тепловая машина 1, которая берёт теплоту $Q^{+}$ у нагревателя при $900\ ^\circ\text{C}$ и сбрасывает остаток в холодильник при $0\ ^\circ\text{C}$. И есть «двухэтажная» система: машина 2 берёт ту же теплоту $Q^{+}$ у того же нагревателя, но сбрасывает остаток в промежуточный резервуар при $70\ ^\circ\text{C}$, а машина 3 забирает из этого резервуара всю сброшенную теплоту и работает между $70\ ^\circ\text{C}$ и $0\ ^\circ\text{C}$. Нужно сравнить работу одной машины с суммарной работой двух.

Шаг 1 — температуры в кельвинах. Формула КПД машины Карно работает только с абсолютной температурой:

$$T_{\text{н}1}=900+273=1173\ \text{К},\qquad T_{\text{х}2}=T_{\text{н}3}=70+273=343\ \text{К},\qquad T_{\text{х}1}=T_{\text{х}3}=0+273=273\ \text{К}.$$

Шаг 2 — КПД и работа идеальной машины. Для цикла Карно КПД зависит только от температур нагревателя и холодильника, а работа за цикл — это КПД, умноженный на теплоту, взятую у нагревателя:

$$\eta=1-\dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}},\qquad A=\eta Q_{\text{н}}.$$

Для машины 1: $A_1=\left(1-\dfrac{273}{1173}\right)Q^{+}=\dfrac{900}{1173}\,Q^{+}$.

Шаг 3 — машина 2. Она берёт ту же теплоту $Q^{+}$, но её холодильник теплее: $A_2=\left(1-\dfrac{343}{1173}\right)Q^{+}=\dfrac{830}{1173}\,Q^{+}$.

Шаг 4 — сколько теплоты достаётся машине 3. По закону сохранения энергии за цикл (первый закон термодинамики: за цикл внутренняя энергия рабочего тела возвращается к прежней) всё, что машина 2 взяла у нагревателя и не превратила в работу, уходит в её холодильник:

$$Q_2=Q^{+}-A_2=Q^{+}-\dfrac{830}{1173}\,Q^{+}=\dfrac{343}{1173}\,Q^{+}.$$

Это и есть теплота, которую получает нагреватель машины 3. Заметь: машина 3 получает не $Q^{+}$, а только этот остаток.

Шаг 5 — работа машины 3. Её нагреватель — резервуар при $343$ К, холодильник — при $273$ К:

$$A_3=\left(1-\dfrac{273}{343}\right)Q_2=\dfrac{70}{343}\cdot\dfrac{343}{1173}\,Q^{+}=\dfrac{70}{1173}\,Q^{+}.$$

Шаг 6 — сравниваем. Суммарная работа системы:

$$A_2+A_3=\dfrac{830}{1173}\,Q^{+}+\dfrac{70}{1173}\,Q^{+}=\dfrac{900}{1173}\,Q^{+}.$$

Это ровно столько же, сколько $A_1$. Значит, $\dfrac{A_1}{A_2+A_3}=\dfrac{900/1173}{900/1173}=1$ — работы равны.

Почему так вышло. В общем виде $A_2+A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}+\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{х}2}}\right)\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}\,Q^{+}=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}=A_1$: промежуточная температура выпадает. Две идеальные машины, поставленные «лесенкой», используют тот же полный перепад температур от $1173$ К до $273$ К, что и одна машина, поэтому из той же теплоты $Q^{+}$ получают ту же работу.

Проверим себя десятичными дробями: $\eta_1=0{,}767$; $\eta_2=0{,}708$; $Q_2=0{,}292\,Q^{+}$; $\eta_3=1-\dfrac{273}{343}=0{,}204$; $A_3=0{,}204\cdot0{,}292\,Q^{+}=0{,}060\,Q^{+}$. Тогда $A_2+A_3=0{,}708\,Q^{+}+0{,}060\,Q^{+}=0{,}768\,Q^{+}\approx A_1$ — расхождение только в третьем знаке из-за округлений.

Почему модель законна. Все три двигателя идеальные и работают по обратимому циклу Карно, поэтому их КПД задаётся только температурами нагревателя и холодильника. Резервуары считаем настолько большими, что их температуры за цикл не меняются. Промежуточный резервуар ничего не накапливает: по условию он отдаёт машине 3 всю теплоту, полученную от машины 2.