Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048183

Что тут происходит. Поезд трогается со станции и равноускоренно разгоняется на участке длиной $4$ км до скорости $72$ км/ч. Нужно узнать, какую скорость он набрал уже за первый километр.

Дано: $\upsilon_0=0$, $S=4\ \text{км}=4000\ \text{м}$, $\upsilon=72\ \text{км/ч}=20\ \text{м/с}$, $S_1=1\ \text{км}=1000\ \text{м}$. Найти: $\Delta\upsilon$ на первом километре.

Шаг 1 — что такое искомый прирост. Поезд начал первый километр с нулевой скоростью, поэтому прирост скорости на первом километре равен скорости в его конце: $\Delta\upsilon=\upsilon_1$.

Шаг 2 — ускорение по всему участку. Время не дано, берём формулу без времени для разгона из покоя:

$$\upsilon^2=2aS\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{\upsilon^2}{2S}=\dfrac{400}{8000}=0{,}05\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 3 — скорость в конце первого километра. Та же формула для первого километра с тем же ускорением:

$$\upsilon_1^2=2aS_1=2\cdot0{,}05\cdot1000=100\quad\Rightarrow\quad \upsilon_1=10\ \text{м/с}.$$

В общем виде: $\upsilon_1=\upsilon\sqrt{\dfrac{S_1}{S}}=20\cdot\sqrt{\dfrac14}=10$ м/с. Значит, $\Delta\upsilon=10\ \text{м/с}$.

Обрати внимание: первый километр — четверть пути, а скорость за него набрана не на четверть, а наполовину. Квадрат скорости растёт пропорционально пути, а сама скорость — медленнее. Поэтому прирост скорости на каждом следующем километре всё меньше: на последнем километре скорость выросла лишь с $\sqrt{2\cdot0{,}05\cdot3000}\approx17{,}3$ до $20$ м/с.

Проверим себя через время. Весь разгон длился $\dfrac{\upsilon}{a}=\dfrac{20}{0{,}05}=400$ с, первый километр — $\dfrac{\upsilon_1}{a}=\dfrac{10}{0{,}05}=200$ с. Время вдвое меньше, путь вчетверо меньше — как и положено при разгоне из покоя.