Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048178

Что здесь происходит. Цепь состоит из двух «окон»: левое (между $R_1$ и $R_2$) пронизано магнитным полем, правое (между $R_2$ и $R_3$) — нет. Когда поле выключают, магнитный поток через левое окно убывает до нуля, и в нём возникает ЭДС индукции. Она гонит ток через $R_1$, а дальше ток разветвляется между $R_2$ и $R_3$. Нужен заряд, прошедший именно через $R_2$.

Данные в СИ: $S=10\ \text{см}^2=10\cdot10^{-4}\ \text{м}^2=10^{-3}\ \text{м}^2$, $B=0{,}5$ Тл.

Шаг 1 — изменение потока. Поток через левое окно $\Phi=BS$ (поле перпендикулярно плоскости цепи), после выключения поля — ноль:

$$|\Delta\Phi|=BS=0{,}5\cdot10^{-3}=5\cdot10^{-4}\ \text{Вб}.$$

Шаг 2 — как устроена цепь для индукционного тока. ЭДС «сидит» в левом окне. Для неё $R_2$ и $R_3$ включены между одними и теми же двумя узлами (верхним и нижним проводом справа от поля) — то есть параллельно, а $R_1$ стоит последовательно с этой парой. Сопротивление пары

$$R_{23}=\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\dfrac{20\cdot10}{30}=\dfrac{20}{3}\ \text{Ом},\qquad R_{\text{общ}}=R_1+R_{23}=30+\dfrac{20}{3}=\dfrac{110}{3}\ \text{Ом}.$$

Шаг 3 — заряд через $R_1$. По закону Фарадея ЭДС $\mathcal{E}=\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ на малом промежутке, ток $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{общ}}}$, а заряд за этот промежуток $\Delta q=I\Delta t=\dfrac{\Delta\Phi}{R_{\text{общ}}}$. Складывая по всем промежуткам, получаем, что заряд зависит только от полного изменения потока, а не от того, как быстро выключали поле:

$$q_1=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R_{\text{общ}}}=\dfrac{5\cdot10^{-4}\cdot3}{110}\approx1{,}36\cdot10^{-5}\ \text{Кл}.$$

Шаг 4 — какая часть заряда идёт через $R_2$. На параллельных $R_2$ и $R_3$ в каждый момент одинаковое напряжение, поэтому токи (и заряды) обратно пропорциональны сопротивлениям: через меньшее $R_3$ идёт больше. Доля $R_2$:

$$q_2=q_1\cdot\dfrac{R_3}{R_2+R_3}=1{,}36\cdot10^{-5}\cdot\dfrac{10}{30}\approx4{,}55\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.$$

Точно: $q_2=\dfrac{BS}{R_1+R_{23}}\cdot\dfrac{R_3}{R_2+R_3}=\dfrac{5\cdot10^{-4}}{110}=\dfrac{5}{11}\cdot10^{-5}$ Кл $\approx4{,}5$ мкКл.

Проверим себя. Через $R_3$ проходит $q_3=q_1\cdot\dfrac{20}{30}\approx9{,}1$ мкКл — вдвое больше, чем через $R_2$ (сопротивление вдвое меньше), а сумма $4{,}55+9{,}09\approx13{,}6$ мкКл равна заряду через $R_1$. Тот же метод на живом близнеце (другие числа: $R_1=10$, $R_2=20$, $R_3=30$ Ом, $S=4$ см², $B=1$ Тл, заряд через $R_3$) даёт его ответ $7{,}27$ мкКл.

Почему модель законна. Поле однородное и перпендикулярно плоскости, поэтому поток $\Phi=BS$; индуктивностью цепи пренебрегаем, так что в каждый момент токи определяются законами Ома и Кирхгофа для ЭДС индукции; заряд выражается через полное изменение потока (закон электромагнитной индукции Фарадея).