Задание 22 ЕГЭ по физике №00048173

Что тут происходит. Грузовик въезжает в горку и по пути разгоняется: в пункте А скорость $54$ км/ч, в пункте Б, который на $40$ м выше, — $72$ км/ч. Работу на подъём и разгон совершает двигатель, но в полезную работу у него идёт только половина затраченной энергии. Нужно найти, сколько энергии затрачено всего.

Дано: $m=25\ \text{т}=2{,}5\cdot10^4\ \text{кг}$, $V_1=54\ \text{км/ч}=15\ \text{м/с}$, $V_2=72\ \text{км/ч}=20\ \text{м/с}$, $h=40\ \text{м}$, $\eta=50\,\%=0{,}5$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $Q$ в МДж.

Шаг 1 — полезная работа. Все потери (трение в механизмах, сопротивление движению) учтены в КПД, поэтому полезная работа двигателя целиком идёт на прирост механической энергии грузовика — кинетической и потенциальной. Важен именно прирост: кинетическая энергия у грузовика была уже в пункте А.

$$A_{\text{п}}=\dfrac{mV_2^2}{2}-\dfrac{mV_1^2}{2}+mgh.$$

Потенциальная энергия зависит только от перепада высот, форма и длина горки значения не имеют.

Шаг 2 — считаем части. Прирост кинетической энергии: $\dfrac{m(V_2^2-V_1^2)}{2}=\dfrac{2{,}5\cdot10^4\cdot(400-225)}{2}=1{,}25\cdot10^4\cdot175\approx2{,}19\cdot10^6\ \text{Дж}$. Прирост потенциальной: $mgh=2{,}5\cdot10^4\cdot10\cdot40=1{,}0\cdot10^7\ \text{Дж}$. Подъём «стоит» почти впятеро больше, чем разгон. Всего $A_{\text{п}}\approx1{,}219\cdot10^7\ \text{Дж}$.

Шаг 3 — затраченная энергия. КПД — доля затраченной энергии, ставшая полезной работой: $A_{\text{п}}=\eta Q$. Значит, затраченная энергия больше полезной работы, и на КПД нужно делить:

$$Q=\dfrac{A_{\text{п}}}{\eta}=\dfrac{m(V_2^2-V_1^2+2gh)}{2\eta}=\dfrac{1{,}21875\cdot10^7}{0{,}5}=2{,}4375\cdot10^7\ \text{Дж}=24{,}375\ \text{МДж}.$$

Проверим себя обратным ходом: половина от $24{,}375$ МДж — это $12{,}1875$ МДж; вычитаем $10$ МДж на подъём, остаётся $2{,}1875$ МДж — ровно прирост кинетической энергии. И по смыслу: при КПД $50\,\%$ затраченная энергия вдвое больше полезной работы, а не вдвое меньше.