Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048171

Что тут происходит. Камень отпустили, и он падает с ускорением $g$, всё время разгоняясь. Ни высота, ни время падения не даны — известно только, что за последнюю секунду перед ударом о землю камень пролетел $10$ м. По этому «хвосту» движения надо восстановить всё падение и найти среднюю скорость.

Дано: $\upsilon_0=0$, $\tau=1\ \text{с}$ — последняя секунда, $\Delta h=10\ \text{м}$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $\upsilon_{\text{ср}}$.

Шаг 1 — записываем путь за последнюю секунду. Пусть всё падение длится $t$. Сопротивления нет, камень падает равноускоренно из покоя, поэтому за время $t$ он проходит $\dfrac{gt^2}{2}$, а за время $t-\tau$ — $\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}$. Путь за последнюю секунду — разность этих путей:

$$\Delta h=\dfrac{gt^2}{2}-\dfrac{g(t-\tau)^2}{2}=\dfrac{g\tau(2t-\tau)}{2}.$$

Шаг 2 — находим время падения. Подставляем числа: $10=\dfrac{10\cdot1\cdot(2t-1)}{2}=5(2t-1)$, откуда $2t-1=2$ и

$$t=1{,}5\ \text{с}.$$

Шаг 3 — высота падения: $H=\dfrac{gt^2}{2}=\dfrac{10\cdot1{,}5^2}{2}=\dfrac{10\cdot2{,}25}{2}=11{,}25\ \text{м}$.

Шаг 4 — средняя скорость. Средняя скорость за всё падение — это весь путь, делённый на всё время:

$$\upsilon_{\text{ср}}=\dfrac{H}{t}=\dfrac{11{,}25}{1{,}5}=7{,}5\ \text{м/с}.$$

Проверим себя. Путь за последнюю секунду — от момента $0{,}5$ с до $1{,}5$ с: $11{,}25-\dfrac{10\cdot0{,}5^2}{2}=11{,}25-1{,}25=10$ м — совпало. Второй способ: при разгоне из покоя скорость растёт равномерно, поэтому средняя скорость равна половине конечной. Конечная скорость $\upsilon=gt=15\ \text{м/с}$, половина — $7{,}5\ \text{м/с}$. И по смыслу: средняя скорость за всё падение меньше средней скорости за последнюю секунду ($10$ м/с), ведь в начале камень летел медленно.