Задание 22 ЕГЭ по физике №00048169

Что тут происходит. Шарики стоят в ряд, как в игрушке «колыбель Ньютона», только на столе. Первый толкают — он бьёт второй, второй — третий и так далее. Шарики почти абсолютно упругие: ударивший шарик почти останавливается и отдаёт следующему почти всю свою энергию, но «почти» — каждый раз немного теряется. Через $9$ ударов движение дошло до десятого шарика, и его скорость уже не $V_1$, а $0{,}8V_1$. Нужно найти, какая доля энергии передаётся при одном ударе.

Дано: $n=9$ соударений, $V_{10}=0{,}8V_1$, шарики одинаковые (масса $m$). Найти: долю $k$ кинетической энергии, передаваемую при одном ударе, в процентах.

Шаг 1 — модель. Шарики одинаковые и удары одинаковые, поэтому при каждом ударе следующий шарик получает одну и ту же долю $k$ кинетической энергии движущегося шарика. Между ударами шарик катится по гладкому горизонтальному жёлобу, и его энергия не меняется, так что расстояния между шариками роли не играют.

Шаг 2 — цепочка ударов. После первого удара энергия второго шарика $E_2=kE_1$, после второго удара у третьего $E_3=kE_2=k^2E_1$, и так далее: каждый удар умножает энергию на $k$. Десятый шарик начинает двигаться после девятого удара:

$$E_{10}=k^9E_1.$$

Шаг 3 — переходим к скоростям. Массы шариков одинаковы, поэтому отношение их кинетических энергий равно квадрату отношения скоростей:

$$\dfrac{E_{10}}{E_1}=\dfrac{mV_{10}^2/2}{mV_1^2/2}=\left(\dfrac{V_{10}}{V_1}\right)^2=0{,}8^2=0{,}64.$$

Шаг 4 — находим $k$. Из $k^9=0{,}64$ получаем

$$k=0{,}64^{1/9}=0{,}8^{2/9}.$$

На калькуляторе удобно через логарифм: $\lg0{,}64\approx-0{,}194$, делим на $9$: $-0{,}0215$, и $k=10^{-0{,}0215}\approx0{,}952$. То есть при каждом ударе передавалось примерно $95\,\%$ кинетической энергии.

Проверим себя. Возведём $0{,}952$ в девятую степень: $0{,}952^9\approx0{,}64$, а это и есть $0{,}8^2$ — сошлось. И по смыслу: шарики почти упругие, поэтому за один удар передаётся почти вся энергия, а теряются лишь проценты; но за девять ударов потери накапливаются, и до десятого шарика доходит только $64\,\%$ начальной энергии.