Задание 22 ЕГЭ по физике №00048167

Что тут происходит. Шар падает из покоя, но воздух его тормозит: без сопротивления, пролетев $50$ м, он разогнался бы до $\sqrt{2gh}=\sqrt{1000}\approx31{,}6\ \text{м/с}$, а на деле набрал только $20\ \text{м/с}$. Часть энергии «съела» сила сопротивления. Нужно сравнить, на сколько изменилась потенциальная энергия шара и какую работу совершила сила сопротивления.

Дано: $\upsilon_0=0$, $h=50\ \text{м}$, $\upsilon=20\ \text{м/с}$, $g=10\ \text{м/с}^2$, масса шара $m$ (не дана). Найти: $\dfrac{\Delta E_{\text{п}}}{A_{\text{с}}}$.

Шаг 1 — изменение потенциальной энергии. Изменение — это всегда «конечное минус начальное». Шар опустился на $h$, поэтому его потенциальная энергия уменьшилась:

$$\Delta E_{\text{п}}=E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}}=-mgh.$$

Шаг 2 — работа силы сопротивления. Сила сопротивления в условии не дана и по ходу падения, скорее всего, менялась, поэтому считать её работу как «сила на путь» нельзя. Зато есть закон: изменение полной механической энергии тела равно работе непотенциальных сил, здесь — силы сопротивления воздуха. В начале у шара только потенциальная энергия, в конце — кинетическая и меньшая потенциальная:

$$A_{\text{с}}=\Delta E_{\text{к}}+\Delta E_{\text{п}}=\dfrac{m\upsilon^2}{2}-mgh.$$

То же даёт теорема о кинетической энергии: $\dfrac{m\upsilon^2}{2}-0=A_{\text{тяж}}+A_{\text{с}}$, где работа силы тяжести $A_{\text{тяж}}=mgh$.

Шаг 3 — отношение. Масса стоит множителем и в числителе, и в знаменателе, поэтому на неё можно разделить:

$$\dfrac{\Delta E_{\text{п}}}{A_{\text{с}}}=\dfrac{-mgh}{\dfrac{m\upsilon^2}{2}-mgh}=\dfrac{gh}{gh-\dfrac{\upsilon^2}{2}}.$$

Шаг 4 — числа: $gh=10\cdot50=500\ \text{Дж/кг}$, $\dfrac{\upsilon^2}{2}=\dfrac{400}{2}=200\ \text{Дж/кг}$, поэтому

$$\dfrac{\Delta E_{\text{п}}}{A_{\text{с}}}=\dfrac{500}{500-200}=\dfrac{5}{3}\approx1{,}67.$$

Проверим себя. Обе величины отрицательны: потенциальная энергия убыла, а сила сопротивления направлена против движения и совершает отрицательную работу. Поэтому отношение положительно. Оно больше единицы — и это логично: из каждых $500$ Дж на килограмм убыли потенциальной энергии $200$ Дж ушли в кинетическую энергию шара и только $300$ Дж «забрал» воздух.