Задание 22 ЕГЭ по физике №00048163

Что тут происходит. Грузовик едет в горку и при этом разгоняется: внизу, в пункте А, скорость $36$ км/ч, наверху, в пункте Б, — $63$ км/ч. Двигатель сжёг топливо и затратил $34{,}04$ МДж, но в полезную работу пошли только $60\,\%$. Эта полезная работа и подняла грузовик, и разогнала его. Нужно найти, на сколько метров Б выше А.

Дано: $m=30\ \text{т}=3\cdot10^4\ \text{кг}$, $\upsilon_1=36\ \text{км/ч}=10\ \text{м/с}$, $\upsilon_2=63\ \text{км/ч}=17{,}5\ \text{м/с}$, $Q=34{,}04\ \text{МДж}=3{,}404\cdot10^7\ \text{Дж}$, $\eta=60\,\%=0{,}6$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $h$.

Шаг 1 — полезная работа двигателя. КПД показывает, какая доля затраченной энергии стала полезной работой:

$$A_{\text{п}}=\eta Q=0{,}6\cdot34{,}04=20{,}424\ \text{МДж}.$$

Шаг 2 — куда ушла полезная работа. Все потери — на трение в механизмах, сопротивление воздуха и прочее — уже учтены в КПД. Значит, полезная работа целиком пошла на увеличение механической энергии грузовика — и кинетической, и потенциальной:

$$\eta Q=\dfrac{m\upsilon_2^2}{2}-\dfrac{m\upsilon_1^2}{2}+mgh.$$

Шаг 3 — прирост кинетической энергии. Внимание: в формулу входит разность квадратов скоростей, а не квадрат разности:

$$\Delta E_{\text{к}}=\dfrac{m(\upsilon_2^2-\upsilon_1^2)}{2}=\dfrac{3\cdot10^4\cdot(306{,}25-100)}{2}=1{,}5\cdot10^4\cdot206{,}25\approx3{,}094\cdot10^6\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — перепад высот. На подъём осталось $mgh=20{,}424-3{,}094=17{,}330\ \text{МДж}$, поэтому

$$h=\dfrac{\eta Q-\Delta E_{\text{к}}}{mg}=\dfrac{1{,}733\cdot10^7}{3\cdot10^4\cdot10}=\dfrac{1{,}733\cdot10^7}{3\cdot10^5}\approx57{,}8\ \text{м}.$$

Проверим себя обратным ходом: $mgh=3\cdot10^5\cdot57{,}77\approx1{,}733\cdot10^7$ Дж, плюс $3{,}094\cdot10^6$ Дж на разгон — всего $2{,}042\cdot10^7$ Дж, делим на КПД $0{,}6$ и получаем $3{,}404\cdot10^7$ Дж $=34{,}04$ МДж — как в условии. И по смыслу: если бы грузовик не разгонялся, вся полезная работа ушла бы на подъём и перепад высот вышел бы больше — около $68$ м.