Задание 22 ЕГЭ по физике №00048150

Что тут происходит. Два шарика висят на нитях рядом. Тяжёлый шарик $M$ отводят на высоту $H$ и отпускают, внизу он бьёт по лёгкому шарику $m$. Удар абсолютно упругий. Лёгкий шарик отлетает, а тяжёлый не останавливается и не отскакивает назад — он продолжает двигаться вперёд, только медленнее, и поднимается на нити уже по другую сторону. Нужно найти, на какую высоту.

Дано: $M=0{,}25$ кг, $m=0{,}05$ кг, $H=0{,}15$ м, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $h$ — высоту подъёма первого шарика после удара.

Шаг 1 — скорость перед ударом. На спуске нить работы не совершает, сопротивления нет, механическая энергия сохраняется: $MgH=\dfrac{MV_0^2}{2}$, откуда $V_0^2=2gH$ — масса сократилась.

Шаг 2 — удар. В нижней точке нити вертикальны, горизонтальных внешних сил за время удара нет — сохраняется горизонтальный импульс. Удар абсолютно упругий — сохраняется и кинетическая энергия. Второй шарик до удара покоится; после удара скорости $V$ и $u$:

$$MV_0=MV+mu,\qquad MV_0^2=MV^2+mu^2.$$

Из первого уравнения $u=\dfrac{M(V_0-V)}{m}$; подставив во второе и сократив на $M(V_0-V)$, получим $V_0+V=u$. Тогда

$$MV_0=MV+m(V_0+V)\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{M-m}{M+m}V_0.$$

Сокращать на $V_0-V$ можно, потому что второе решение системы, $V=V_0$, означает «удара не было» — оно нас не интересует. При $M\gt m$ скорость $V$ положительна: первый шарик продолжает движение в ту же сторону.

Шаг 3 — подъём первого шарика после удара: $\dfrac{MV^2}{2}=Mgh$, то есть

$$h=\dfrac{V^2}{2g}=\left(\dfrac{M-m}{M+m}\right)^2\dfrac{V_0^2}{2g}=\left(\dfrac{M-m}{M+m}\right)^2H.$$

Шаг 4 — числа: $\dfrac{M-m}{M+m}=\dfrac{250-50}{250+50}=\dfrac{200}{300}=\dfrac23$, поэтому $h=\dfrac49\cdot0{,}15\approx0{,}067\ \text{м}\approx6{,}7\ \text{см}$.

Проверим себя энергией. До удара у первого шарика энергия $MgH=0{,}25\cdot10\cdot0{,}15=0{,}375$ Дж. После удара он уносит $\dfrac49$ этой энергии, $\approx0{,}167$ Дж, а второму достаётся $\dfrac{m}{M}\cdot\left(\dfrac{2M}{M+m}\right)^2=\dfrac15\cdot\dfrac{25}{9}=\dfrac59$, $\approx0{,}208$ Дж; в сумме $0{,}375$ Дж — сходится. Предельные случаи тоже разумны: при $m\to0$ первый шарик «не заметил» бы удара и поднялся бы на $H$, а при $m=M$ остановился бы совсем ($h=0$).