Задание 22 ЕГЭ по физике №00048149

Что тут происходит. Два шарика висят рядом на нитях, как маятники. Тяжёлый шарик $M$ отводят в сторону на высоту $H$ и отпускают: он раскачивается вниз и в нижней точке бьёт по лёгкому шарику $m$. Удар абсолютно упругий, лёгкий шарик отлетает и поднимается на своей нити. Нужно найти, на какую высоту.

Дано: $M=0{,}2$ кг, $m=0{,}1$ кг, $H=0{,}1$ м, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $h$.

Шаг 1 — скорость первого шарика перед ударом. Нить всё время перпендикулярна скорости и работы не совершает, сопротивления нет, поэтому механическая энергия шарика сохраняется (длина нити не нужна):

$$MgH=\dfrac{MV_0^2}{2}\quad\Rightarrow\quad V_0=\sqrt{2gH}.$$

Шаг 2 — удар. В нижней точке нити вертикальны, и за короткое время удара горизонтальных внешних сил на шарики нет, поэтому сохраняется горизонтальный импульс. Удар абсолютно упругий — сохраняется и кинетическая энергия. Удар центральный (центры на одной горизонтали), второй шарик покоился. Пусть после удара скорости $V$ (первого) и $u$ (второго):

$$MV_0=MV+mu,\qquad \dfrac{MV_0^2}{2}=\dfrac{MV^2}{2}+\dfrac{mu^2}{2}.$$

Перепишем: $M(V_0-V)=mu$ и $M(V_0-V)(V_0+V)=mu^2$. Делим второе на первое: $V_0+V=u$ — скорость удаления шариков после удара равна скорости сближения до удара. Подставляя $V=u-V_0$ в первое уравнение, получаем

$$u=\dfrac{2MV_0}{M+m}.$$

Шаг 3 — подъём второго шарика. И здесь сохраняется механическая энергия: $\dfrac{mu^2}{2}=mgh$, откуда $h=\dfrac{u^2}{2g}$. Подставляя $u$ и $V_0^2=2gH$:

$$h=\dfrac{4M^2}{(M+m)^2}\cdot\dfrac{V_0^2}{2g}=\dfrac{4M^2H}{(M+m)^2}.$$

Шаг 4 — числа: $h=\dfrac{4\cdot0{,}2^2\cdot0{,}1}{0{,}3^2}=\dfrac{0{,}016}{0{,}09}\approx0{,}178\ \text{м}\approx17{,}8\ \text{см}$.

Проверим себя. Второй шарик поднялся выше, чем был отведён первый ($17{,}8$ см против $10$ см), — противоречия нет: лёгкий шарик после удара тяжёлым получает большую скорость, чем была у тяжёлого (здесь $u=\dfrac{4}{3}V_0$). Энергия при этом не берётся из ниоткуда: первый шарик после удара продолжает движение с $V=\dfrac{V_0}{3}$ и уносит $\dfrac19$ начальной энергии, а $\dfrac{m}{M}\cdot\left(\dfrac43\right)^2=\dfrac89$ достаётся второму. И предел ясен: даже при очень лёгком втором шарике $u$ не больше $2V_0$, то есть $h$ не превышает $4H$.