Задание 22 ЕГЭ по физике №00048147

Что тут происходит. Шарик бросают в левое колено гладкой трубки. Он проскакивает изгиб внизу, поднимается по правому колену и упирается в нижний конец висящей там пружины. Пружина сжимается, пока шарик не остановится. Нужно найти энергию сжатой пружины в этот момент.

Дано: $k=1$ Н/м, $l=0{,}4$ м, $m=25\ \text{г}=0{,}025\ \text{кг}$, $\upsilon_0=0$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $E_{\text{п1}}$.

Шаг 1 — закон. Трубка гладкая, сопротивления нет, стенки работы не совершают (давят перпендикулярно движению). Значит, механическая энергия системы «шарик — пружина» сохраняется.

Шаг 2 — уровни. Высота трубки не дана, и она не понадобится. Шарик стартует с верхнего края левого колена, а пружина прикреплена к верхнему краю правого — на том же уровне. Отсчитывать высоту удобно от этого уровня старта: тогда в начале у шарика нет ни кинетической, ни потенциальной энергии. Нижний конец пружины находится на $l$ ниже уровня старта.

Шаг 3 — момент максимального сжатия. Пружина сжата сильнее всего, когда шарик на мгновение остановился. Если сжатие равно $x$, шарик находится на $l-x$ ниже уровня старта. Его потенциальная энергия тяжести равна $-mg(l-x)$, кинетическая — нулю, а пружина запасла $\dfrac{kx^2}{2}$.

Шаг 4 — закон сохранения энергии:

$$0=-mg(l-x)+\dfrac{kx^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{kx^2}{2}+mgx-mgl=0.$$

Шаг 5 — находим сжатие. С числами $mg=0{,}25$ Н, $\dfrac{k}{2}=0{,}5$ Н/м, $mgl=0{,}1$ Дж: $0{,}5x^2+0{,}25x-0{,}1=0$, то есть $x^2+0{,}5x-0{,}2=0$. Берём положительный корень:

$$x=\dfrac{-0{,}5+\sqrt{0{,}25+0{,}8}}{2}=\dfrac{-0{,}5+1{,}0247}{2}\approx0{,}262\ \text{м}.$$

Шаг 6 — энергия пружины:

$$E_{\text{п1}}=\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{1\cdot0{,}262^2}{2}\approx\dfrac{0{,}0688}{2}\approx0{,}034\ \text{Дж}.$$

В общем виде $E_{\text{п1}}=\dfrac{(mg)^2}{2k}\left(\sqrt{1+\dfrac{2kl}{mg}}-1\right)^2$.

Проверим себя вторым способом: энергия пружины равна энергии тяжести, которую потерял шарик, $mg(l-x)=0{,}25\cdot(0{,}4-0{,}262)=0{,}25\cdot0{,}138\approx0{,}034$ Дж — совпало. И сжатие $0{,}262$ м меньше длины пружины $0{,}4$ м, так что пружина действительно может так сжаться.