Задание 22 ЕГЭ по физике №00048146

Что тут происходит. Шарик падает в левое колено гладкой трубки, проскакивает изгиб внизу и взлетает по правому колену. Там сверху висит пружина: шарик упирается в её нижний конец и сжимает её, пока не остановится. Нужно найти, на какой высоте над столом это произойдёт.

Дано: $H=1$ м, $k=2$ Н/м, $l=0{,}5$ м, $m=50\ \text{г}=0{,}05\ \text{кг}$, $\upsilon_0=0$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $h$.

Шаг 1 — какой закон работает. Трубка гладкая, сопротивления нет. Стенки трубки действуют на шарик перпендикулярно его движению и работы не совершают, поэтому полная механическая энергия шарика (вместе с энергией пружины) сохраняется — как бы ни изгибалась трубка.

Шаг 2 — геометрия по рисунку. Шарик стартует с верхнего края левого колена, на высоте $H$ над столом. Пружина прикреплена к верхнему краю правого колена — на той же высоте $H$, — и её нижний конец находится на высоте $H-l=0{,}5$ м. Если в момент максимального сжатия пружина сжата на $x$, шарик находится на высоте $h=H-l+x$.

Шаг 3 — где максимальное сжатие. Не там, где сила упругости уравновесила силу тяжести ($kx=mg$): в той точке шарик ещё движется, причём быстрее всего. Пружина сжата сильнее всего, когда шарик на мгновение остановился, — его кинетическая энергия равна нулю.

Шаг 4 — закон сохранения энергии. В начале шарик покоится на высоте $H$; в конце покоится на высоте $H-l+x$, а пружина сжата на $x$:

$$mgH=mg(H-l+x)+\dfrac{kx^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{kx^2}{2}+mgx-mgl=0.$$

Шаг 5 — решаем квадратное уравнение. Подставим числа: $mg=0{,}5$ Н, $\dfrac{k}{2}=1$ Н/м, $mgl=0{,}25$ Дж: $x^2+0{,}5x-0{,}25=0$. Положительный корень (сжатие не может быть отрицательным):

$$x=\dfrac{-0{,}5+\sqrt{0{,}25+1}}{2}=\dfrac{-0{,}5+1{,}118}{2}\approx0{,}309\ \text{м}.$$

В общем виде $x=\dfrac{mg}{k}\left(\sqrt{1+\dfrac{2kl}{mg}}-1\right)$.

Шаг 6 — высота: $h=H-l+x=1-0{,}5+0{,}309\approx0{,}81$ м.

Проверим себя. Сжатие $0{,}309$ м меньше длины пружины $0{,}5$ м — пружине есть куда сжиматься. Высота $0{,}81$ м лежит между нижним концом пружины ($0{,}5$ м) и уровнем старта ($1$ м): выше уровня старта шарик подняться не может, ведь часть энергии ушла в пружину. Энергия сходится: шарик потерял $mg(l-x)=0{,}5\cdot0{,}191\approx0{,}095$ Дж, а пружина запасла $\dfrac{2\cdot0{,}309^2}{2}\approx0{,}095$ Дж.