Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048128

Что здесь происходит. На $pV$-диаграмме газ переходит из состояния 1 в состояние 2 по прямому отрезку: объём растёт от $1$ до $2$ л, давление падает от $p_1$ до неизвестного $p_2$. За весь процесс газ получил $150$ Дж теплоты. По этой теплоте нужно найти $p_2$.

Шаг 1 — первый закон термодинамики. Полученная газом теплота идёт на изменение его внутренней энергии и на работу газа:

$$Q_{12}=\Delta U+A.$$

Неизвестное $p_2$ сидит в обоих слагаемых, поэтому выразим каждое через давления и объёмы.

Шаг 2 — изменение внутренней энергии. Для идеального одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, а по уравнению Менделеева — Клапейрона $\nu RT=pV$. Значит $U=\dfrac{3}{2}pV$ и

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\left(p_2V_2-p_1V_1\right).$$

Шаг 3 — работа. Работа газа равна площади под графиком процесса на $pV$-диаграмме. Под отрезком 1–2 до оси $V$ лежит трапеция с основаниями $p_1$ и $p_2$ и высотой $V_2-V_1$:

$$A=\dfrac{p_1+p_2}{2}\left(V_2-V_1\right).$$

Шаг 4 — решаем уравнение. Подставим всё в первый закон и умножим на $2$:

$$2Q_{12}=3p_2V_2-3p_1V_1+\left(p_1+p_2\right)\left(V_2-V_1\right).$$

Соберём слагаемые с $p_2$ и с $p_1$: $2Q_{12}=p_2\left(4V_2-V_1\right)-p_1\left(4V_1-V_2\right)$, откуда

$$p_2=\dfrac{2Q_{12}+p_1\left(4V_1-V_2\right)}{4V_2-V_1}.$$

Шаг 5 — числа. Объёмы в СИ: $V_1=10^{-3}$ м³, $V_2=2\cdot10^{-3}$ м³. Числитель: $2\cdot150+2\cdot10^5\cdot\left(4\cdot10^{-3}-2\cdot10^{-3}\right)=300+400=700$ Дж. Знаменатель: $8\cdot10^{-3}-10^{-3}=7\cdot10^{-3}$ м³.

$$p_2=\dfrac{700}{7\cdot10^{-3}}=10^5\ \text{Па}.$$

Проверим себя. Произведение $pV$ в начале $2\cdot10^5\cdot10^{-3}=200$ Дж, в конце $10^5\cdot2\cdot10^{-3}=200$ Дж — одинаковое. Значит температуры в состояниях 1 и 2 равны, $\Delta U=0$, и вся полученная теплота ушла в работу. Работа — площадь трапеции: $\dfrac{2\cdot10^5+10^5}{2}\cdot10^{-3}=150$ Дж — ровно $Q_{12}$. Всё сходится. И с рисунком тоже: $p_2=10^5$ Па меньше $p_1$, как и нарисовано.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный — поэтому $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$. Процесс изображается линией на $pV$-диаграмме, значит он равновесный (квазистатический), и работа газа равна площади под графиком. Первый закон термодинамики применяем ко всему процессу: $Q_{12}$ — полное (суммарное) количество теплоты.