Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048127

Что здесь происходит. Большой цилиндр разделён перегородкой на две части. В левой части ($1000$ л) газ сжат до $2$ атм, в правой ($2000$ л) — до $1$ атм. Перегородку убирают, газ из обеих частей перемешивается, и через какое-то время во всём цилиндре устанавливается одно давление. Его и нужно найти. Обрати внимание: температуры газа в частях нам не дали — значит, решать придётся так, чтобы они не понадобились.

Шаг 1 — что сохраняется. Цилиндр теплоизолирован, поэтому теплота снаружи не приходит и не уходит: $Q=0$. Стенки жёсткие, и газ при перемешивании просто расширяется из одной части в другую внутри того же цилиндра — над внешними телами он работы не совершает: $A=0$. По первому закону термодинамики

$$\Delta U=Q-A=0,$$

то есть суммарная внутренняя энергия газа после снятия перегородки такая же, какой была сумма энергий двух порций до этого.

Шаг 2 — как записать энергию без температуры. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$, поэтому произведение $\nu RT$ можно заменить на $pV$:

$$U=\dfrac{3}{2}pV.$$

Это очень удобно: давления и объёмы частей нам как раз даны, а ни температуры, ни количества вещества знать не нужно.

Шаг 3 — баланс энергии. До снятия перегородки энергия складывается из двух частей, после — это энергия всего газа, который занимает объём $V_1+V_2$ при общем давлении $p$:

$$\dfrac{3}{2}p_1V_1+\dfrac{3}{2}p_2V_2=\dfrac{3}{2}p\left(V_1+V_2\right).$$

Множитель $\dfrac{3}{2}$ стоит в каждом слагаемом, на него можно разделить обе части:

$$p=\dfrac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}.$$

Шаг 4 — считаем. Давления можно оставить в атмосферах, а объёмы в литрах: в формуле объёмы стоят и в числителе, и в знаменателе, так что литры сокращаются, а давление получится в тех же атмосферах.

$$p=\dfrac{2\cdot1000+1\cdot2000}{1000+2000}=\dfrac{4000}{3000}=\dfrac{4}{3}\ \text{атм}\approx1{,}33\ \text{атм}.$$

В паскалях это примерно $1{,}33\cdot1{,}01\cdot10^5\approx1{,}35\cdot10^5$ Па.

Проверим себя. Давление после смешивания обязано оказаться между $1$ и $2$ атм — так и есть. Причём ближе к $1$ атм: в правой части объём вдвое больше, она «весит» в среднем сильнее. Простое среднее $\dfrac{2+1}{2}=1{,}5$ атм было бы ошибкой — оно не учитывает, что части разного размера. И ещё крайний случай: если бы давления в частях были одинаковы, $p_1=p_2$, формула дала бы то же самое давление — снятие перегородки ничего бы не изменило, как и должно быть.

Почему модель законна. Газ идеальный и одноатомный — поэтому для него справедливы $pV=\nu RT$ и $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Теплоизоляция даёт $Q=0$, жёсткие стенки и неподвижный цилиндр — отсутствие работы над внешними телами. Конечное состояние равновесное: давление и температура выровнялись по всему объёму, поэтому для всего газа можно писать одно уравнение состояния. Начальные температуры частей могли быть разными — на ответ это не влияет, ведь мы их нигде не использовали.