Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048117

Что здесь происходит. Это «мёртвая петля» на нити, только тело заряжено и летит в магнитном поле. Чтобы тело прошло полный круг, нить должна оставаться натянутой всю дорогу — она умеет только тянуть, толкать не может. Значит, ищем такую скорость внизу, при которой натяжение нигде не становится отрицательным, причём в самом опасном месте оно как раз обращается в ноль.

Шаг 1 — куда направлена сила Лоренца. По рисунку: тело в нижней точке, скорость направлена вправо, вектор $\vec B$ — «на нас» (кружок с точкой), заряд положительный. Правило левой руки: линии $\vec B$ входят в ладонь, четыре пальца по скорости — вправо, большой палец показывает вниз, то есть от центра окружности. Сила Лоренца всё время перпендикулярна скорости, а скорость при движении по окружности направлена по касательной; поэтому и в других точках эта сила направлена по радиусу наружу. Модуль её $qvB$.

Шаг 2 — где опаснее всего. Возьмём точку, где нить составляет угол $\varphi$ с вертикалью, отсчитанный от верхнего положения. Второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру): $T+mg\cos\varphi-qvB=\dfrac{mv^2}{l}$, откуда

$$T=\dfrac{mv^2}{l}+qvB-mg\cos\varphi.$$

Чем выше тело, тем меньше его скорость (оно поднимается, кинетическая энергия уходит в потенциальную), значит, первые два слагаемых меньше, а $-mg\cos\varphi$ наименьшее при $\varphi=0$. Все три «тянут» в одну сторону: натяжение минимально в верхней точке. Условие полного оборота с наименьшей скоростью — $T=0$ наверху.

Шаг 3 — скорость в верхней точке. При $T=0$ и $\varphi=0$:

$$mg-qv_{\text{в}}B=\dfrac{mv_{\text{в}}^2}{l}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{m}{l}v_{\text{в}}^2+qBv_{\text{в}}-mg=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $v_{\text{в}}$. Один корень отрицательный — он не годится (модуль скорости). Положительный корень:

$$v_{\text{в}}=\dfrac{l}{2m}\left(\sqrt{q^2B^2+\dfrac{4m^2g}{l}}-qB\right)=\dfrac{qBl}{2m}\left(\sqrt{1+\dfrac{4m^2g}{q^2B^2l}}-1\right).$$

Шаг 4 — связь с нижней точкой. Сила Лоренца перпендикулярна скорости и работы не совершает; натяжение нити тоже перпендикулярно скорости. Работу совершает только сила тяжести, поэтому механическая энергия сохраняется. Верхняя точка выше нижней на диаметр $2l$:

$$\dfrac{mv_{\text{н}}^2}{2}=\dfrac{mv_{\text{в}}^2}{2}+mg\cdot2l\quad\Rightarrow\quad v_{\text{н}}^2=v_{\text{в}}^2+4gl.$$

Шаг 5 — собираем. Обозначим для краткости $a=\dfrac{4m^2g}{q^2B^2l}$. Тогда $v_{\text{в}}^2=\dfrac{q^2B^2l^2}{4m^2}\left(\sqrt{1+a}-1\right)^2=\dfrac{q^2B^2l^2}{4m^2}\left(2+a-2\sqrt{1+a}\right)=\dfrac{q^2B^2l^2}{2m^2}+gl-\dfrac{q^2B^2l^2}{2m^2}\sqrt{1+a}$ (мы учли, что $\dfrac{q^2B^2l^2}{4m^2}\cdot a=gl$). Прибавляем $4gl$:

$$v_{\min}=\sqrt{5gl+\dfrac{q^2B^2l^2}{2m^2}\left(1-\sqrt{1+\dfrac{4m^2g}{q^2B^2l}}\right)}.$$

Проверим себя. Без поля ($B\to0$) добавка исчезает: $\dfrac{q^2B^2l^2}{2m^2}\sqrt{\dfrac{4m^2g}{q^2B^2l}}=\dfrac{qBl}{m}\sqrt{gl}\to0$, и остаётся знакомое $\sqrt{5gl}$. Скобка $\left(1-\sqrt{1+a}\right)$ отрицательна, значит, с полем нужна меньшая скорость, — так и должно быть: сила Лоренца тянет тело от центра и помогает держать нить натянутой. В очень сильном поле $v_{\text{в}}\approx\dfrac{mg}{qB}\to0$, и $v_{\min}\to\sqrt{4gl}$: достаточно просто «доехать» до верхней точки, нить натянет сила Лоренца.

Почему модель законна. Тело маленькое — материальная точка; нить невесомая и нерастяжимая — тело движется по окружности радиуса $l$, а натяжение направлено вдоль нити; поле однородное и постоянное; скорость много меньше скорости света, поэтому сила Лоренца $qvB$ и законы Ньютона применимы, система отсчёта, связанная с точкой подвеса, инерциальная; сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется.