Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048116

Что здесь происходит. Протон влетает в магнитное поле, и на него действует сила Лоренца. Чтобы он пошёл по окружности радиуса $R$ именно вокруг точки $O$, сумма всех сил должна быть направлена к $O$ и равна той силе, которая нужна для движения по такой окружности. Если одна сила Лоренца с этим не справляется (или «перестаралась»), поправку внесёт кулоновская сила от заряда $q$ в точке $O$. Силой тяжести пренебрегаем: для протона она в миллиарды раз меньше остальных сил.

Данные в СИ: $v=900$ км/с $=9\cdot10^5$ м/с, $B=0{,}12$ Тл, $R=0{,}1$ м; справочные: $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, $m=1{,}67\cdot10^{-27}$ кг, $k=9\cdot10^9$ Н·м²/Кл².

Шаг 1 — направление силы Лоренца (по рисунку). Протон слева от $O$, скорость направлена вверх, вектор $\vec B$ — «на нас» (кружок с точкой). Правило левой руки для положительной частицы: линии $\vec B$ входят в ладонь (ладонь повёрнута к рисунку, от нас), четыре пальца — по скорости вверх, отогнутый большой палец показывает вправо, то есть на точку $O$. Значит, сила Лоренца направлена к центру будущей окружности. Она перпендикулярна скорости, поэтому и дальше, когда протон сдвинется по окружности, будет смотреть на $O$.

Шаг 2 — какая сила нужна. Для равномерного движения по окружности радиуса $R$ по второму закону Ньютона нужна сила к центру

$$F_{\text{ц}}=\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot(9\cdot10^5)^2}{0{,}1}=\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot8{,}1\cdot10^{11}}{0{,}1}\approx1{,}353\cdot10^{-14}\ \text{Н}.$$

Шаг 3 — сила Лоренца:

$$F_{\text{Л}}=evB=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot9\cdot10^5\cdot0{,}12\approx1{,}728\cdot10^{-14}\ \text{Н}.$$

Она больше нужной! Одна сила Лоренца закрутила бы протон по окружности меньшего радиуса, $\dfrac{mv}{eB}\approx7{,}8$ см, а не $10$ см.

Шаг 4 — что должен делать заряд $q$. Лишнюю силу к центру надо скомпенсировать силой от центра — заряд $q$ должен отталкивать протон, то есть быть положительным. Второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру):

$$evB-\dfrac{ke q}{R^2}=\dfrac{mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad q=\dfrac{R^2}{ke}\left(evB-\dfrac{mv^2}{R}\right).$$

Подставляем: $evB-\dfrac{mv^2}{R}\approx1{,}728\cdot10^{-14}-1{,}353\cdot10^{-14}=0{,}375\cdot10^{-14}$ Н. Тогда

$$q=\dfrac{0{,}1^2\cdot3{,}75\cdot10^{-15}}{9\cdot10^9\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}=\dfrac{3{,}75\cdot10^{-17}}{1{,}44\cdot10^{-9}}\approx2{,}6\cdot10^{-8}\ \text{Кл}.$$

Заряд положительный, $q\approx26$ нКл. Обрати внимание: искомая сила — небольшая разность двух близких величин, поэтому справочные данные надо брать с тремя значащими цифрами; округлив силы до $1{,}7$ и $1{,}4$, получили бы заметно другой ответ.

Шаг 5 — почему движение останется круговым. Обе силы перпендикулярны скорости (сила Лоренца — всегда, кулоновская — пока протон на окружности вокруг $O$), поэтому работы не совершают, скорость по модулю не меняется, а значит не меняются и $evB$, и $\dfrac{ke q}{R^2}$, и нужная $\dfrac{mv^2}{R}$. Равенство выполняется в каждой точке окружности.

Проверим себя. Если бы поле было направлено от нас, сила Лоренца смотрела бы от $O$, и заряд пришлось бы делать отрицательным и гораздо большим: $|q|=\dfrac{R^2}{ke}\left(evB+\dfrac{mv^2}{R}\right)\approx2{,}2\cdot10^{-7}$ Кл. Так что направление поля на рисунке решает знак ответа.

Почему модель законна. Протон — точечный заряд, его скорость много меньше скорости света, поэтому применимы второй закон Ньютона и формула силы Лоренца; заряд $q$ в точке $O$ неподвижен, его поле — поле точечного заряда (закон Кулона); поле $\vec B$ однородно; силой тяжести и излучением пренебрегаем.