Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048113

Что здесь происходит. На $pV$-диаграмме нарисован цикл из трёх точек: 1 ($10$ л; $1\cdot10^5$ Па), 2 ($10$ л; $4\cdot10^5$ Па) и 3 ($40$ л; $4\cdot10^5$ Па). Точки 1 и 3 соединены «лесенкой» из горизонтальных и вертикальных ступенек. Двигатель шёл бы по циклу 1→2→3→1, а холодильник идёт в обратную сторону: 1→3 по лесенке, потом 3→2 и 2→1. Нужно найти, сколько теплоты газ отдаёт за цикл в расчёте на единицу затраченной работы.

Шаг 1 — читаем график. По горизонтали одна клетка — $10$ л $=10^{-2}$ м³, по вертикали — $10^5$ Па. «Цена» одной клетки площади: $10^5\cdot10^{-2}=1000$ Дж. Количество газа ($1$ моль) нам не понадобится: всё выразим через $p$ и $V$.

Шаг 2 — где газ отдаёт теплоту. Пойдём по холодильному циклу.

— Лесенка 1→3: на горизонтальных ступеньках газ расширяется при постоянном давлении, на вертикальных — давление растёт при постоянном объёме. На каждом таком участке произведение $pV$, а с ним и температура, растёт, и газ получает теплоту.

— Участок 3→2: сжатие при постоянном давлении $4\cdot10^5$ Па, объём падает с $40$ до $10$ л. Температура падает, газ ещё и сжимают — теплоту газ отдаёт.

— Участок 2→1: давление падает при постоянном объёме $10$ л, газ остывает — тоже отдаёт теплоту.

Значит, $Q_-$ — это теплота, отданная на участках 3→2 и 2→1.

Шаг 3 — считаем $Q_-$. Для одноатомного газа на изобаре $Q=\dfrac{5}{2}p\Delta V$ (из первого закона: $\Delta U=\dfrac{3}{2}p\Delta V$ плюс работа $p\Delta V$), на изохоре $Q=\dfrac{3}{2}V\Delta p$ (работы нет, вся теплота — изменение внутренней энергии $U=\dfrac{3}{2}pV$).

$$|Q_{32}|=\dfrac{5}{2}\cdot4\cdot10^5\cdot\left(40-10\right)\cdot10^{-3}=\dfrac{5}{2}\cdot12\,000=30\,000\ \text{Дж},$$

$$|Q_{21}|=\dfrac{3}{2}\cdot10\cdot10^{-3}\cdot\left(4-1\right)\cdot10^5=\dfrac{3}{2}\cdot3000=4500\ \text{Дж}.$$

Всего $|Q_-|=30\,000+4500=34\,500$ Дж.

Шаг 4 — работа над газом за цикл. Она равна площади фигуры, ограниченной циклом. Под верхней стороной 2–3 лежит прямоугольник $4\cdot3=12$ клеток. Под лесенкой — ступеньки площадью $1\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=6$ клеток (на высотах $1$, $2$ и $3$ деления, каждая шириной в одну клетку). Площадь цикла $12-6=6$ клеток, то есть

$$A=6\cdot1000=6000\ \text{Дж}.$$

Цикл обходится против часовой стрелки (по лесенке вверх, по верхней стороне влево), поэтому работа газа за цикл отрицательна, а работа внешних сил над газом положительна и равна $6000$ Дж.

Шаг 5 — эффективность.

$$\eta_{\text{х}}=\dfrac{|Q_-|}{A}=\dfrac{34\,500}{6000}=5{,}75.$$

Проверим себя законом сохранения энергии. За цикл внутренняя энергия возвращается к исходной, поэтому отданная газом теплота равна полученной плюс работа над газом. Посчитаем полученную на лесенке: изобары $\dfrac{5}{2}\left(1+2+3\right)\cdot10^5\cdot10^{-2}=15\,000$ Дж, изохоры $\dfrac{3}{2}\left(20+30+40\right)\cdot10^{-3}\cdot10^5=13\,500$ Дж, всего $28\,500$ Дж. И правда $28\,500+6000=34\,500$ Дж. Эффективность больше единицы — для холодильной машины это нормально: она «перекачивает» теплоты больше, чем тратит работы.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, поэтому $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, и теплоты на изобаре и изохоре выражаются через $p$ и $V$. Процессы изображены линиями на $pV$-диаграмме, значит они равновесные: работа равна площади под графиком, а работа за цикл — площади цикла. Знак теплоты на каждом участке определяем по первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A_{\text{газа}}$.