Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048112

Что здесь происходит. Газ на $pV$-диаграмме идёт по прямому отрезку из состояния 1 в состояние 2: давление падает втрое, с $3\cdot10^5$ до $10^5$ Па, а объём растёт от $1$ л до неизвестного $V_2$. Всего газ получил $400$ Дж теплоты. Нужно найти конечный объём.

Шаг 1 — внутренняя энергия. Для идеального одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, а $\nu RT=pV$ (уравнение Менделеева — Клапейрона). Поэтому $U=\dfrac{3}{2}pV$, и изменение внутренней энергии записывается только через давления и объёмы:

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\left(p_2V_2-p_1V_1\right).$$

Шаг 2 — работа. Работа газа равна площади под графиком процесса. Под отрезком 1–2 — трапеция с основаниями $p_1$ и $p_2$ и высотой $V_2-V_1$:

$$A=\dfrac{p_1+p_2}{2}\left(V_2-V_1\right).$$

Шаг 3 — первый закон термодинамики $Q_{12}=\Delta U+A$. Умножим на $2$:

$$2Q_{12}=3p_2V_2-3p_1V_1+\left(p_1+p_2\right)\left(V_2-V_1\right).$$

Неизвестное здесь $V_2$, уравнение для него линейное. Соберём слагаемые с $V_2$ слева от остальных: $2Q_{12}=V_2\left(4p_2+p_1\right)-V_1\left(4p_1+p_2\right)$, откуда

$$V_2=\dfrac{2Q_{12}+V_1\left(4p_1+p_2\right)}{4p_2+p_1}.$$

Шаг 4 — числа. $V_1=1$ л $=10^{-3}$ м³. Произведение давления в паскалях на объём в кубометрах даёт джоули. Числитель: $2\cdot400+10^{-3}\cdot\left(4\cdot3\cdot10^5+10^5\right)=800+1300=2100$ Дж. Знаменатель: $4\cdot10^5+3\cdot10^5=7\cdot10^5$ Па.

$$V_2=\dfrac{2100}{7\cdot10^5}=3\cdot10^{-3}\ \text{м}^3=3\ \text{л}.$$

Проверим себя подстановкой. Работа: $\dfrac{3\cdot10^5+10^5}{2}\cdot\left(3-1\right)\cdot10^{-3}=2\cdot10^5\cdot2\cdot10^{-3}=400$ Дж. Изменение внутренней энергии: $\dfrac{3}{2}\left(10^5\cdot3\cdot10^{-3}-3\cdot10^5\cdot10^{-3}\right)=\dfrac{3}{2}\left(300-300\right)=0$. Сумма $400$ Дж — ровно $Q_{12}$. Заодно видно, что конечная температура равна начальной: давление упало втрое, а объём втрое вырос. И $V_2=3$ л больше $V_1$ — газ расширяется, как показывает стрелка на рисунке.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, поэтому $U=\dfrac{3}{2}pV$. Процесс изображён линией на $pV$-диаграмме — он равновесный, и работа газа равна площади под графиком. $Q_{12}$ — полная теплота за процесс, поэтому первый закон пишем для всего участка 1–2 сразу.