МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048111

Что здесь происходит. В цилиндре смесь двух газов — азота и углекислого газа, молекул того и другого поровну. Смесь нагревают в десять раз по абсолютной температуре при постоянном давлении. Если бы ничего не происходило с молекулами, объём просто вырос бы в $10$ раз. Но при сильном нагреве часть молекул $\text{CO}_2$ разваливается, и частиц в газе становится больше. Значит, объём вырастет сильнее. Нужно найти насколько.

Шаг 1 — какой закон. Давлению газа всё равно, из каких частиц он состоит, важно только их общее число $N$. Поэтому удобно писать уравнение состояния в виде $pV=NkT$ (для смеси это следует из закона Дальтона). При постоянном давлении объём пропорционален произведению $NT$:

$$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{N_2}{N_1}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}.$$

Шаг 2 — снимаем долю распада с графика. По горизонтали одна клетка — $500$ К (подписи $1000$, $2000$, $3000$ стоят через две клетки), по вертикали одна клетка — $10\%$. При $T=3000$ К кривая проходит через отметку $60\%$, то есть $\alpha=0{,}6$.

Шаг 3 — считаем частицы. Пусть всего в начале было $N_1$ молекул. «Равные концентрации» означают, что азота и углекислого газа поровну: по $\dfrac{N_1}{2}$. Азот не распадается — его молекул так и остаётся $\dfrac{N_1}{2}$. Из молекул $\text{CO}_2$ распалась доля $\alpha$:

— уцелело $\text{CO}_2$: $(1-\alpha)\dfrac{N_1}{2}=0{,}4\cdot\dfrac{N_1}{2}=0{,}2N_1$;

— по уравнению реакции из каждых двух молекул $\text{CO}_2$ получаются две молекулы $\text{CO}$ и одна молекула $\text{O}_2$, то есть на одну распавшуюся молекулу — одна $\text{CO}$ и половинка $\text{O}_2$. Молекул $\text{CO}$: $\alpha\dfrac{N_1}{2}=0{,}3N_1$, молекул $\text{O}_2$: $\dfrac{\alpha}{2}\cdot\dfrac{N_1}{2}=0{,}15N_1$.

Всего в конце

$$N_2=0{,}5N_1+0{,}2N_1+0{,}3N_1+0{,}15N_1=1{,}15N_1.$$

В общем виде $N_2=N_1\left(1+\dfrac{\alpha}{4}\right)$: каждая распавшаяся молекула $\text{CO}_2$ добавляет полчастицы, а распадается лишь доля $\alpha$ от половины всех молекул.

Шаг 4 — объём.

$$V_2=V_1\cdot\dfrac{N_2}{N_1}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}=0{,}1\cdot1{,}15\cdot\dfrac{3000}{300}=0{,}1\cdot1{,}15\cdot10=1{,}15\ \text{л}.$$

Проверим себя. Без распада объём вырос бы до $0{,}1\cdot10=1$ л; распад добавил ещё $15\%$ — немного, потому что распадается только углекислый газ (половина смеси) и каждая его молекула даёт прибавку лишь в полчастицы. Если бы, как у водорода, каждая распавшаяся молекула давала две частицы, прибавка была бы больше.

Почему модель законна. Все газы смеси при таких условиях разреженные, их считаем идеальными: давление смеси равно сумме парциальных давлений (закон Дальтона), и для всей смеси верно $pV=NkT$ с полным числом частиц. Давление постоянно по условию, а доля распада при каждой температуре задана графиком — значит в конце смесь находится в равновесии при $3000$ К.