Влажность — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048110

Что здесь происходит. Под поршнем — влажный воздух, пар в нём ненасыщенный: влажность $60\%$. Поршнем медленно сжимают воздух в $3$ раза, температура не меняется. В какой-то момент пар становится насыщенным, и дальше лишний пар превращается в воду — её набралось $5$ г. Нужно узнать, сколько пара было в начале.

Шаг 1 — выпадет ли роса. Пар — идеальный газ, и пока он не конденсируется, при изотермическом сжатии его плотность растёт во столько же раз, во сколько уменьшается объём. Сжатие в $3$ раза дало бы влажность $3\cdot60\%=180\%$ — так не бывает: выше $100\%$ влажность не поднимается. Значит, пар по дороге стал насыщенным, и в конце над выпавшей водой он насыщенный.

Шаг 2 — масса пара в начале и в конце. Обозначим $\rho_{\text{н}}$ — плотность насыщенного пара при этой температуре, $V$ — начальный объём. Относительная влажность — это отношение плотности пара к $\rho_{\text{н}}$, поэтому в начале

$$m_0=\varphi\rho_{\text{н}}V.$$

В конце пар насыщенный и занимает объём $\dfrac{V}{n}$:

$$m_{\text{кон}}=\rho_{\text{н}}\dfrac{V}{n}.$$

Шаг 3 — масса росы. Сконденсировалось ровно столько, сколько пара пропало: $m=m_0-m_{\text{кон}}$. Ни $V$, ни $\rho_{\text{н}}$ нам не даны, но обе массы выражаются через одно и то же произведение $\rho_{\text{н}}V=\dfrac{m_0}{\varphi}$. Подставим:

$$m=m_0-\dfrac{m_0}{n\varphi}=m_0\left(1-\dfrac{1}{n\varphi}\right)\quad\Rightarrow\quad m_0=\dfrac{mn\varphi}{n\varphi-1}.$$

Шаг 4 — числа. $n\varphi=3\cdot0{,}6=1{,}8$, поэтому

$$m_0=\dfrac{5\cdot1{,}8}{1{,}8-1}=\dfrac{9}{0{,}8}=11{,}25\ \text{г}.$$

Проверим себя вторым способом — через момент начала конденсации. Пар станет насыщенным, когда объём уменьшится в $\dfrac{1}{\varphi}=\dfrac{1}{0{,}6}=\dfrac{5}{3}$ раза, то есть станет $0{,}6V$. Дальше объём сжимается до $\dfrac{V}{3}$, а пар всё время насыщенный, поэтому конденсируется масса $\rho_{\text{н}}\left(0{,}6V-\dfrac{V}{3}\right)=\dfrac{4}{15}\rho_{\text{н}}V=5$ г. Отсюда $\rho_{\text{н}}V=18{,}75$ г и $m_0=0{,}6\cdot18{,}75=11{,}25$ г — то же самое. И по смыслу: в цилиндре осталось $11{,}25-5=6{,}25$ г пара, это насыщенный пар в трети объёма — меньше, чем было, как и должно быть.

Почему модель законна. Ненасыщенный пар считаем идеальным газом: при постоянной температуре его плотность пропорциональна давлению, поэтому влажность можно считать по плотностям. Плотность насыщенного пара зависит только от температуры, а процесс изотермический. Сухой воздух на ответ не влияет: по закону Дальтона пар ведёт себя независимо от него. Объём выпавшей воды ничтожен по сравнению с объёмом газа.