Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048109

Что здесь происходит. Два теплоизолированных сосуда с одноатомным газом соединены тонкой трубкой, в трубке перегородка. В первом сосуде газа больше, но он холодный, во втором газа вдвое меньше, зато он вчетверо горячее. Перегородку убирают — газ перемешивается, и в обоих сосудах устанавливаются одна температура и одно давление. Нужно найти это давление.

Шаг 1 — что сохраняется. Сосуды теплоизолированы, поэтому $Q=0$. Объём всей системы не меняется — газ лишь перетекает из сосуда в сосуд, работы над внешними телами нет: $A=0$. По первому закону термодинамики $\Delta U=Q-A=0$ — суммарная внутренняя энергия газа сохраняется.

Шаг 2 — конечная температура. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. До снятия перегородки энергия равна сумме энергий двух порций, после — энергии всего газа количеством $\nu+0{,}5\nu=1{,}5\nu$ при общей температуре $T_{\text{к}}$:

$$\dfrac{3}{2}\nu RT+\dfrac{3}{2}\cdot0{,}5\nu R\cdot4T=\dfrac{3}{2}\cdot1{,}5\nu RT_{\text{к}}.$$

Сократим на $\dfrac{3}{2}\nu R$: $T+2T=1{,}5T_{\text{к}}$, откуда $T_{\text{к}}=2T$. Это среднее температур, взвешенное по количеству вещества, а не простое среднее $\dfrac{T+4T}{2}=2{,}5T$: холодного газа вдвое больше, и он тянет общую температуру к себе.

Шаг 3 — давление. В конце газ количеством $1{,}5\nu$ занимает оба сосуда, объём $V+2V=3V$ (объёмом тонкой трубки пренебрегаем), при температуре $2T$. По уравнению Менделеева — Клапейрона

$$p\cdot3V=1{,}5\nu R\cdot2T\quad\Rightarrow\quad p=\dfrac{3\nu RT}{3V}=\dfrac{\nu RT}{V}.$$

Проверим себя. Энергию, отданную горячим газом, должен получить холодный. Газ первого сосуда нагрелся от $T$ до $2T$ и получил $\dfrac{3}{2}\nu R\cdot T$; газ второго остыл от $4T$ до $2T$ и отдал $\dfrac{3}{2}\cdot0{,}5\nu R\cdot2T=\dfrac{3}{2}\nu RT$ — то же самое. И ещё любопытная проверка: посчитаем давления до снятия перегородки. В первом сосуде $p_1=\dfrac{\nu RT}{V}$, во втором $p_2=\dfrac{0{,}5\nu R\cdot4T}{2V}=\dfrac{\nu RT}{V}$ — они были одинаковыми. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}pV$, и при сохранении энергии итоговое давление — это среднее давлений частей, взвешенное по объёмам. Раз давления были равны, они такими и остались.

Почему модель законна. Газ разреженный — значит его можно считать идеальным: работают $pV=\nu RT$ и $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ для одноатомного газа. Сосуды теплоизолированы и неподвижны — теплообмена с окружением и работы над внешними телами нет. Трубка малого диаметра — её объёмом пренебрегаем. «После того как перегородку убрали» понимаем как установившееся равновесие: температура и давление выровнялись.