МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048106

Что здесь происходит. В пустой сосуд впустили два одноатомных газа: аргон с «медленными» атомами и неон с «быстрыми». Газы перемешиваются, сталкиваются, обмениваются энергией, и в конце у смеси одна температура и одно давление. Скорости атомов — это фактически температуры газов, только записанные через механику. Нужно найти давление смеси.

Шаг 1 — что сохраняется. Теплоёмкостью сосуда и теплообменом с окружением пренебрегаем, значит $Q=0$. Стенки жёсткие — работы над внешними телами газ не совершает, $A=0$. По первому закону термодинамики суммарная внутренняя энергия газов сохраняется: $U=U_1+U_2$.

Шаг 2 — энергия газа через скорость атомов. У одноатомного идеального газа внутренняя энергия — это кинетическая энергия всех атомов. Средняя кинетическая энергия одного атома равна $\dfrac{m_0u^2}{2}$, где $u$ — среднеквадратичная скорость. Умножим на число атомов $N=\nu N_A$ и учтём, что $m_0N_A=M$ — молярная масса:

$$U_i=\nu_iN_A\cdot\dfrac{m_0u_i^2}{2}=\dfrac{\nu_iM_iu_i^2}{2}.$$

Молярные массы берём по таблице Менделеева: аргон $M_1=0{,}040$ кг/моль, неон $M_2=0{,}020$ кг/моль. Тогда

$$U_1=\dfrac{0{,}5\cdot0{,}040\cdot300^2}{2}=\dfrac{0{,}02\cdot90\,000}{2}=900\ \text{Дж},\qquad U_2=\dfrac{0{,}3\cdot0{,}020\cdot600^2}{2}=\dfrac{0{,}006\cdot360\,000}{2}=1080\ \text{Дж}.$$

Всего $U=900+1080=1980$ Дж.

Шаг 3 — от энергии к давлению. Для смеси одноатомных газов $U=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, а уравнение состояния смеси (закон Дальтона вместе с уравнением Менделеева — Клапейрона) $pV=(\nu_1+\nu_2)RT$. Сравнивая, видим $U=\dfrac{3}{2}pV$, откуда

$$p=\dfrac{2U}{3V}=\dfrac{2\cdot1980}{3\cdot0{,}020}=\dfrac{3960}{0{,}06}=66\,000\ \text{Па}=66\ \text{кПа}.$$

Объём перевели в СИ: $20$ л $=0{,}020$ м³.

Проверим себя вторым путём — через температуры. Из $\dfrac{3}{2}RT=\dfrac{Mu^2}{2}$ получаем $T=\dfrac{Mu^2}{3R}$: у аргона $T_1=\dfrac{0{,}04\cdot90\,000}{3\cdot8{,}31}\approx144$ К, у неона $T_2=\dfrac{0{,}02\cdot360\,000}{3\cdot8{,}31}\approx289$ К. Общая температура — среднее, взвешенное по количествам вещества: $T=\dfrac{0{,}5\cdot144+0{,}3\cdot289}{0{,}8}\approx199$ К. Давление $p=\dfrac{0{,}8\cdot8{,}31\cdot199}{0{,}020}\approx66\cdot10^3$ Па — то же самое.

Почему модель законна. Аргон и неон — одноатомные газы, в разреженном состоянии их можно считать идеальными: внутренняя энергия — это только кинетическая энергия поступательного движения атомов, $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Газы химически не реагируют, поэтому давление смеси складывается из парциальных давлений (закон Дальтона). Пренебрежение теплоёмкостью сосуда и теплообменом даёт сохранение внутренней энергии газа, жёсткие стенки — отсутствие работы.