МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048104

Что здесь происходит. Шар с оболочкой и корзиной ($400$ кг) и гелием ($100$ кг) может держать груз $225$ кг — это предельный случай, равновесие. Хотим взять ещё пассажира $50$ кг. Для этого в оболочку добавляют гелий: шар раздувается, вытесняет больше воздуха, и подъёмная сила растёт. Нужно найти, сколько гелия добавить как минимум.

Шаг 1 — условие «может поднять». Минимальной массе гелия соответствует случай, когда шар с грузом как раз висит в равновесии: сила Архимеда равна суммарной силе тяжести (второй закон Ньютона при нулевом ускорении):

$$m_{\text{возд}}g=\left(M+m_{\text{г}}+m_{\text{гр}}\right)g.$$

Сила Архимеда равна весу воздуха, вытесненного шаром, поэтому в левой части масса вытесненного воздуха.

Шаг 2 — масса вытесненного воздуха. Оболочка не сопротивляется изменению объёма, поэтому давление гелия равно давлению воздуха, температуры тоже равны. Гелий и вытесненный воздух занимают один и тот же объём $V$. Из уравнения Менделеева — Клапейрона $m=\dfrac{\mu pV}{RT}$ при одинаковых $p$, $V$, $T$ массы пропорциональны молярным массам:

$$m_{\text{возд}}=m_{\text{г}}\dfrac{\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{г}}}=m_{\text{г}}\cdot\dfrac{29}{4}=7{,}25\,m_{\text{г}}.$$

Проверка данных: $7{,}25\cdot100=725$ кг $=400+100+225$ — начальное равновесие сходится, значит молярные массы взяты верно.

Шаг 3 — новое равновесие. Добавим массу гелия $\Delta m$. Шар раздуется (объём пропорционален массе гелия) и будет вытеснять $7{,}25\left(100+\Delta m\right)$ кг воздуха. Нести он должен оболочку, весь гелий, прежний груз и пассажира:

$$7{,}25\left(100+\Delta m\right)=400+\left(100+\Delta m\right)+225+50.$$

Раскрываем скобки: $725+7{,}25\Delta m=775+\Delta m$, откуда $6{,}25\Delta m=50$ и

$$\Delta m=\dfrac{50}{6{,}25}=8\ \text{кг}.$$

Почему делим на $6{,}25$, а не на $7{,}25$: добавленный гелий увеличивает подъёмную силу на $7{,}25$ кг на каждый килограмм, но и сам весит $1$ кг. Если про его вес забыть, вышло бы $50/7{,}25\approx6{,}9$ кг — шар бы не взлетел.

Проверим себя подстановкой. Гелия стало $108$ кг, он вытесняет $7{,}25\cdot108=783$ кг воздуха. Шар несёт $400+108+225+50=783$ кг. Равновесие — значит $8$ кг как раз минимум, при меньшей добавке подъёмной силы не хватит.

Почему модель законна. Воздух и гелий — идеальные газы, поэтому при одинаковых давлении и температуре плотность пропорциональна молярной массе ($\mu_{\text{в}}=29$ г/моль, $\mu_{\text{г}}=4$ г/моль). Сила Архимеда в воздухе равна весу вытесненного воздуха; объёмом корзины и груза пренебрегаем. Вертикальных воздушных течений нет — других сил, кроме силы тяжести и силы Архимеда, на шар не действует.