МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048103

Что здесь происходит. Воздушный шар с гондолой ($400$ кг), гелием ($100$ кг) и грузом ($225$ кг) висит в равновесии — «перестал подниматься». Потом с него сбросили мешок $25$ кг, и шар стал легче — он пойдёт вверх. Чтобы остановить его, часть гелия выпускают. Сколько?

Шаг 1 — условие равновесия. Шар не поднимается и не опускается, значит по второму закону Ньютона сила Архимеда уравновешивает силу тяжести всего, что он несёт, включая сам гелий:

$$m_{\text{возд}}g=\left(M+m_{\text{г}}+m_{\text{гр}}\right)g,$$

где $m_{\text{возд}}$ — масса воздуха, вытесненного шаром (сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха).

Шаг 2 — масса вытесненного воздуха. Оболочка растягивается без сопротивления, поэтому давление гелия равно давлению воздуха, а температуры по условию равны. Объём шара $V$ один и тот же для гелия и для вытесненного воздуха. По уравнению Менделеева — Клапейрона $m=\dfrac{\mu pV}{RT}$, и при одинаковых $p$, $V$, $T$ массы относятся как молярные массы:

$$m_{\text{возд}}=m_{\text{г}}\dfrac{\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{г}}}=m_{\text{г}}\cdot\dfrac{29}{4}=7{,}25\,m_{\text{г}}.$$

Важное следствие: раз оболочка свободно растягивается, объём шара пропорционален массе гелия. Выпустили гелий — шар «сдулся», вытесняет меньше воздуха.

Проверим данные: $7{,}25\cdot100=725$ кг, а $400+100+225=725$ кг. Начальное равновесие сходится.

Шаг 3 — новое равновесие. После сброса мешка груз стал $225-25=200$ кг. Выпустим массу гелия $\Delta m$ — его останется $100-\Delta m$. Новое условие равновесия:

$$7{,}25\left(100-\Delta m\right)=400+\left(100-\Delta m\right)+200.$$

Раскроем скобки: $725-7{,}25\Delta m=700-\Delta m$, то есть $25=6{,}25\Delta m$, откуда

$$\Delta m=\dfrac{25}{6{,}25}=4\ \text{кг}.$$

Смысл числа $6{,}25$: каждый килограмм гелия держит в воздухе $7{,}25$ кг вытесненного воздуха, но сам весит $1$ кг, поэтому «чистая» подъёмная сила килограмма гелия — $6{,}25$ кг. Мешок $25$ кг компенсируется выпуском $25/6{,}25=4$ кг гелия.

Проверим себя без молярных масс. Из начального равновесия $100$ кг гелия держат гондолу и груз, $400+225=625$ кг, то есть каждый килограмм гелия «несёт» $6{,}25$ кг — то же число получилось прямо из данных. Подстановка: гелия $96$ кг вытесняют $7{,}25\cdot96=696$ кг воздуха, а несёт шар $400+96+200=696$ кг. Равновесие.

Почему модель законна. Воздух и гелий считаем идеальными газами, поэтому плотность газа при одинаковых давлении и температуре пропорциональна молярной массе. Сила Архимеда в газе равна весу вытесненного воздуха. Оболочка растягивается без сопротивления — давление внутри равно наружному, объём шара определяется массой гелия. Объёмом гондолы и груза по сравнению с объёмом шара пренебрегаем, «остановка шара» — это равновесие сил (второй закон Ньютона при нулевом ускорении).