Влажность — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048101

Что здесь происходит. В цилиндре под лёгким поршнем — влажный воздух, то есть смесь сухого воздуха и водяного пара. Сверху на поршень сыплют песок, поршень медленно опускается и сжимает смесь при постоянной температуре. Сжали в $k$ раз — и на стенках выступила роса массой $m$: часть пара превратилась в воду. Нужно найти массу песка $M$ (букву $m$ уже заняла роса).

Шаг 1 — начальное состояние. Песка ещё нет, поршень невесомый, стенки гладкие — значит давление под поршнем равно атмосферному $P_0$. По закону Дальтона давление смеси равно сумме давлений сухого воздуха $p_{\text{в}1}$ и пара. Давление пара по определению относительной влажности равно $\varphi p_{\text{н}}$, где $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного пара при температуре $T$:

$$P_0=p_{\text{в}1}+\varphi p_{\text{н}}\quad\Rightarrow\quad p_{\text{в}1}=P_0-\varphi p_{\text{н}}.$$

Шаг 2 — пар в конце. Раз выступила роса, пар над водой стал насыщенным. Давление насыщенного пара зависит только от температуры, а она постоянна, поэтому в конце давление пара равно $p_{\text{н}}$ — сколько бы мы ни сжимали дальше, лишний пар просто конденсируется.

Шаг 3 — сухой воздух. Его масса не меняется (в воду превращается только пар), температура постоянна, а объём уменьшился в $k$ раз. По закону Бойля — Мариотта давление сухого воздуха выросло в $k$ раз:

$$p_{\text{в}2}=k\,p_{\text{в}1}=k\left(P_0-\varphi p_{\text{н}}\right).$$

Шаг 4 — откуда взять $p_{\text{н}}$. Его в условии нет, зато есть масса росы. Запишем массу пара через уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$. В начале пар занимает объём $V_1=SH$ при давлении $\varphi p_{\text{н}}$, в конце — объём $V_2=\dfrac{SH}{k}$ при давлении $p_{\text{н}}$:

$$m_1=\dfrac{\mu\varphi p_{\text{н}}SH}{RT},\qquad m_2=\dfrac{\mu p_{\text{н}}SH}{kRT}.$$

Роса — это ровно та масса пара, которая исчезла: $m=m_1-m_2$. Вынесем общий множитель:

$$m=\dfrac{\mu p_{\text{н}}SH}{RT}\left(\varphi-\dfrac{1}{k}\right)=\dfrac{\mu p_{\text{н}}SH}{kRT}\left(k\varphi-1\right)\quad\Rightarrow\quad p_{\text{н}}\left(k\varphi-1\right)=\dfrac{mkRT}{\mu SH}.$$

Шаг 5 — давление в конце и равновесие поршня. По закону Дальтона в конце под поршнем

$$p_2=p_{\text{в}2}+p_{\text{н}}=kP_0-k\varphi p_{\text{н}}+p_{\text{н}}=kP_0-p_{\text{н}}\left(k\varphi-1\right).$$

Поршень невесомый и опускается медленно, значит в каждый момент силы на него уравновешены (второй закон Ньютона при нулевом ускорении). Снизу его давит смесь с силой $p_2S$, сверху — атмосфера с силой $P_0S$ и песок своим весом $Mg$:

$$p_2S=P_0S+Mg\quad\Rightarrow\quad M=\dfrac{\left(p_2-P_0\right)S}{g}.$$

Шаг 6 — собираем. Подставим $p_2$ и выражение для $p_{\text{н}}(k\varphi-1)$ из шага 4:

$$M=\dfrac{S}{g}\left[(k-1)P_0-\dfrac{mkRT}{\mu SH}\right]=\dfrac{(k-1)P_0S}{g}-\dfrac{mkRT}{\mu gH}.$$

Здесь $\mu=0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды. Интересно, что ни влажность $\varphi$, ни давление насыщенного пара в ответ не вошли: всю информацию о паре принесла масса росы.

Проверим себя. Если бы воздух был совсем сухим, росы бы не было ($m=0$), и газ просто сжали бы в $k$ раз при постоянной температуре: давление выросло бы до $kP_0$, а песок должен был бы добавить $(k-1)P_0$, то есть $M=\dfrac{(k-1)P_0S}{g}$ — это и есть первое слагаемое ответа. Пар «помогает»: часть его уходит в росу, давление растёт меньше, и песка нужно меньше — поэтому второе слагаемое со знаком минус. Размерность: $\dfrac{mRT}{\mu}$ — это джоули, делим на $gH$ (м²/с²) и получаем килограммы.

Почему модель законна. Сухой воздух и ненасыщенный пар считаем идеальными газами, поэтому для них работают уравнение Менделеева — Клапейрона и закон Бойля — Мариотта, а давление смеси складывается по закону Дальтона. Температура постоянна, значит давление насыщенного пара в конце равно своему табличному значению при $T$. Поршень невесомый, стенки гладкие (трения нет), песок насыпают медленно — поэтому поршень всё время в равновесии. Объём росы на стенках ничтожно мал по сравнению с объёмом газа, его не учитываем.