Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048097

Что тут происходит. В лифте к потолку подвешен груз на пружине. Лифт трогается вниз, груз едет вместе с ним и при этом висит неподвижно относительно кабины — пружина растянута на постоянные $2$ см. Зная, как быстро лифт разогнался, нужно найти массу груза.

Дано: $k=100\ \text{Н/м}$, $S=5\ \text{м}$, $t=2\ \text{с}$, $\upsilon_0=0$, $\Delta x=2\ \text{см}=0{,}02\ \text{м}$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $m$.

Шаг 1 — какое движение у лифта. Удлинение пружины постоянно, значит сила упругости постоянна, и груз (а вместе с ним лифт) движется с постоянным ускорением — равноускоренно. Лифт стартует из покоя, поэтому путь связан с ускорением формулой $S=\dfrac{at^2}{2}$:

$$a=\dfrac{2S}{t^2}=\dfrac{2\cdot5}{2^2}=2{,}5\ \text{м/с}^2.$$

Лифт из покоя разгоняется вниз, значит ускорение направлено вниз.

Шаг 2 — силы на груз. Работаем в системе отсчёта, связанной с Землёй (её считаем инерциальной). На груз действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила упругости пружины вверх, по закону Гука $F_{\text{упр}}=k\Delta x$.

Шаг 3 — второй закон Ньютона. Груз движется вместе с лифтом с ускорением $a$ вниз. Направим ось вниз:

$$mg-k\Delta x=ma\quad\Rightarrow\quad m(g-a)=k\Delta x\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{k\Delta x}{g-a}.$$

Шаг 4 — числа: $k\Delta x=100\cdot0{,}02=2$ Н, $g-a=10-2{,}5=7{,}5\ \text{м/с}^2$, поэтому

$$m=\dfrac{2}{7{,}5}\approx0{,}27\ \text{кг}.$$

Проверим себя. В неподвижном лифте груз массой $0{,}27$ кг растянул бы пружину сильнее: $\dfrac{mg}{k}=\dfrac{2{,}7}{100}\approx2{,}7$ см. В лифте, разгоняющемся вниз, груз «легчает», и удлинение меньше — $2$ см, как в условии. А если бы лифт падал с ускорением $g$, пружина не растянулась бы совсем: формула при $a=g$ и ненулевом $\Delta x$ даёт деление на ноль — такого просто не может быть.