Влажность — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048091

Что тут происходит. В закрытом сосуде влажный воздух. В него добавили всего один грамм водяного пара — и влажность подскочила с $40$ до $90\,\%$. Чем меньше сосуд, тем сильнее один грамм поднимает влажность. Значит, по тому, насколько выросла влажность, можно узнать объём сосуда.

Дано: $t=50\,^\circ$C ($T=273+50=323$ К), $\varphi_1=0{,}4$, $\varphi_2=0{,}9$, $\Delta m=1$ г $=10^{-3}$ кг, $p_{\text{н}}=12{,}3$ кПа $=1{,}23\cdot10^{4}$ Па. Найти: $V$.

Шаг 1 — давление пара до и после. Относительная влажность — это доля давления пара от давления насыщенного пара при той же температуре: $\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{н}}}$. Температура не меняется, поэтому $p_{\text{н}}$ одно и то же в обоих состояниях:

$$p_1=\varphi_1p_{\text{н}},\qquad p_2=\varphi_2p_{\text{н}}.$$

Обрати внимание: при $90\,\%$ пар всё ещё ненасыщенный, значит, весь добавленный грамм остался паром, ничего не сконденсировалось.

Шаг 2 — уравнение состояния для пара. Ненасыщенный пар ведёт себя как идеальный газ, для него в обоих состояниях работает уравнение Менделеева–Клапейрона (пар занимает весь сосуд):

$$p_1V=\dfrac{m_1}{\mu}RT,\qquad p_2V=\dfrac{m_2}{\mu}RT,\qquad m_2=m_1+\Delta m.$$

Вычтем первое уравнение из второго — неизвестная начальная масса пара $m_1$ уйдёт:

$$(p_2-p_1)V=\dfrac{\Delta m}{\mu}RT\quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{\Delta m\,RT}{\mu(\varphi_2-\varphi_1)p_{\text{н}}}.$$

Шаг 3 — числа. Прибавка давления пара $(\varphi_2-\varphi_1)p_{\text{н}}=0{,}5\cdot1{,}23\cdot10^{4}=6150$ Па, молярная масса воды $\mu=0{,}018$ кг/моль:

$$V=\dfrac{10^{-3}\cdot8{,}31\cdot323}{0{,}018\cdot6150}=\dfrac{2{,}684}{110{,}7}\approx0{,}024\ \text{м}^3.$$

Это около $24$ литров — сосуд размером с ведро.

Проверим себя. При $V=0{,}024\ \text{м}^3$ пара сначала было $m_1=\dfrac{p_1V\mu}{RT}=\dfrac{4920\cdot0{,}024\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot323}\approx0{,}79$ г, а потом $m_2=\dfrac{11070\cdot0{,}024\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot323}\approx1{,}78$ г. Разность — около $1$ г, ровно столько, сколько добавили.