МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048090

Что тут происходит. Из баллона выпустили почти треть азота — а давление при этом не упало, а выросло в полтора раза. Так может быть, только если оставшийся газ сильно нагрелся: каждая молекула стала бить по стенкам сильнее, и это с лихвой перекрыло нехватку молекул. Нужно найти, до какой температуры газ нагрелся.

Дано: $t_1=27\,^\circ$C, $p_1=100$ кПа, выпустили $30\,\%$ газа, $p_2=150$ кПа, $V=\text{const}$. Найти: $T_2$.

Шаг 1 — давление «глазами молекул». Давление идеального газа $p=nkT$, где $n=\dfrac{N}{V}$ — концентрация молекул. Объём баллона не меняется, поэтому концентрация пропорциональна числу молекул в баллоне. Запишем для начала и конца и поделим одно на другое:

$$\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{N_2}{N_1}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}.$$

Шаг 2 — подставляем. Выпустили $30\,\%$ газа — в баллоне осталось $70\,\%$ молекул: $\dfrac{N_2}{N_1}=0{,}7$. Начальная температура в кельвинах: $T_1=273+27=300$ К. Отсюда

$$T_2=T_1\cdot\dfrac{p_2}{p_1}\cdot\dfrac{N_1}{N_2}=300\cdot\dfrac{150}{100}\cdot\dfrac{1}{0{,}7}=\dfrac{450}{0{,}7}\approx643\ \text{К}.$$

В градусах Цельсия это $t_2\approx643-273=370\,^\circ$C.

Тот же ответ можно получить в два мысленных этапа. Сначала нагреваем закрытый баллон — давление растёт пропорционально абсолютной температуре (закон Шарля). Потом при новой температуре выпускаем $30\,\%$ газа — давление падает пропорционально числу оставшихся молекул. Чтобы после второго этапа вышло $150$ кПа, перед ним должно было быть $\dfrac{150}{0{,}7}\approx214$ кПа, а для этого температура должна вырасти в $2{,}14$ раза: $300\cdot2{,}14\approx643$ К.

Проверим себя. Давление выросло в $1{,}5$ раза, хотя молекул стало меньше, — значит, абсолютная температура обязана вырасти больше чем в $1{,}5$ раза. У нас $\dfrac{643}{300}\approx2{,}14$ — больше, всё сходится. И обратная подстановка: $100\cdot0{,}7\cdot\dfrac{643}{300}\approx150$ кПа.