Задание 22 ЕГЭ по физике №00048054

Что тут происходит. Спортсмен крутит педали, а их вращение передаётся на металлический диск между магнитами. В диске возникают индукционные токи, магниты их тормозят — поэтому крутить тяжело, а диск греется. Как именно работает торможение, нам знать не нужно: по условию вся работа спортсмена уходит на нагрев диска. Значит, надо посчитать эту работу и перевести её в градусы.

Дано: $R=25\ \text{см}=0{,}25\ \text{м}$, $\nu=12$ об/мин, $F=40\ \text{Н}$ на каждую педаль, $m=6\ \text{кг}$, $t=20$ мин, $c=460\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — удельная теплоёмкость железа (табличная). Найти: $\Delta t$.

Шаг 1 — работа за один оборот. Педаль описывает окружность радиуса $R$, а сила всё время направлена по её движению. Поэтому, хотя за оборот педаль возвращается в ту же точку, работа силы не нулевая: на каждом маленьком участке пути она положительна, и в сумме равна силе, умноженной на длину пути — длину окружности. Для одной педали за оборот $A_1=F\cdot2\pi R$.

Шаг 2 — педалей две. Сила $F$ приложена к каждой из них, поэтому за один оборот спортсмен совершает работу $2F\cdot2\pi R=4\pi RF$.

Шаг 3 — число оборотов. За $t=20$ минут при частоте $12$ оборотов в минуту педали делают $N=\nu t=12\cdot20=240$ оборотов. Полная работа:

$$A=4\pi RF\cdot\nu t=4\cdot3{,}14\cdot0{,}25\cdot40\cdot240\approx3{,}0\cdot10^4\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — нагрев диска. Вся работа идёт на нагревание железного диска, поэтому $A=Q=cm\Delta t$, откуда

$$\Delta t=\dfrac{4\pi\nu FRt}{cm}=\dfrac{30\,160}{460\cdot6}=\dfrac{30\,160}{2760}\approx10{,}9\approx11\ {}^\circ\text{C}.$$

Проверим себя другим способом — через мощность. Скорость педали $v=2\pi R\nu=2\cdot3{,}14\cdot0{,}25\cdot0{,}2\approx0{,}314\ \text{м/с}$ (частота $12$ об/мин $=0{,}2$ об/с). Мощность на двух педалях $P=2Fv\approx2\cdot40\cdot0{,}314\approx25{,}1$ Вт, за $1200$ с работа $A=Pt\approx3{,}0\cdot10^4$ Дж — то же самое. Нагрев на градусы Цельсия и на кельвины одинаков, так что диск нагреется примерно на $11$ градусов.