Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048053

Что тут происходит. Представь большую гладкую чашу в форме половинки шара. Маленькое тело катится внутри по горизонтальному кругу, «прилипнув» к стенке, — как мотоциклист по стене. Чем выше по стенке проходит круг, тем больше его радиус и тем быстрее приходится ехать. Два одинаковых тела едут по кругам разного радиуса; нужно сравнить их кинетические энергии.

Дано: $R=30$ см — радиус сферы, $r_1=15$ см и $r_2=25$ см — радиусы траекторий, тела одинаковые. Найти: $\dfrac{E_2}{E_1}$.

Шаг 1 — силы. Сфера гладкая, трения нет. На тело действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила нормальной реакции $N$. Реакция перпендикулярна поверхности сферы, а перпендикуляр к сфере — это её радиус, поэтому $\vec N$ направлена к центру сферы $O$ (а не к центру окружности, по которой едет тело).

Шаг 2 — геометрия. Пусть $\alpha$ — угол между радиусом сферы, проведённым к телу, и вертикалью. Тело, центр сферы $O$ и центр окружности траектории образуют прямоугольный треугольник: гипотенуза $R$, горизонтальный катет $r$, вертикальный катет $h=\sqrt{R^2-r^2}$ (на столько плоскость круга ниже центра сферы). Поэтому $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}$.

Шаг 3 — второй закон Ньютона. По вертикали тело не движется, ускорения нет: $N\cos\alpha=mg$. По горизонтали тело движется по окружности радиуса $r$ с постоянной по модулю скоростью, ускорение центростремительное и направлено к оси: $N\sin\alpha=\dfrac{mv^2}{r}$.

Шаг 4 — делим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от $N$ и $m$:

$$\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{v^2}{gr}\quad\Rightarrow\quad v^2=gr\,\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{gr^2}{\sqrt{R^2-r^2}}.$$

Шаг 5 — отношение энергий. Тела одинаковые, поэтому $\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{mv_2^2/2}{mv_1^2/2}=\dfrac{v_2^2}{v_1^2}$:

$$\dfrac{E_2}{E_1}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2\sqrt{\dfrac{R^2-r_1^2}{R^2-r_2^2}}.$$

Шаг 6 — числа (в отношении единицы сокращаются, можно считать в сантиметрах): $\left(\dfrac{25}{15}\right)^2=\dfrac{25}{9}\approx2{,}78$; $R^2-r_1^2=900-225=675$, $R^2-r_2^2=900-625=275$, $\sqrt{\dfrac{675}{275}}\approx\sqrt{2{,}45}\approx1{,}57$. Итого $\dfrac{E_2}{E_1}\approx2{,}78\cdot1{,}57\approx4{,}35$.

Проверим себя. Энергия выросла сильнее, чем квадрат радиуса: второе тело едет выше, где стенка круче, и реакции приходится «отдавать» больше на поворот. Предельный случай: если бы $r$ стремился к $R$ (тело на «экваторе» сферы), реакция стала бы горизонтальной и не смогла бы держать вес — по формуле $v^2$ уходит в бесконечность, так и должно быть.