Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048052

Что тут происходит. Огромный шар — тонкая оболочка, наполненная газом, — висит в воздухе и никуда не движется: не поднимается и не опускается. Масса оболочки и объём шара известны, плотность окружающего воздуха тоже. Нужно понять, каким лёгким должен быть газ внутри, чтобы такое равновесие получилось.

Дано: $V=800\ \text{м}^3$ — объём шара, $M=400\ \text{кг}$ — масса оболочки, $\rho=1{,}2\ \text{кг/м}^3$ — плотность воздуха. Найти: $\rho_{\text{г}}$ — плотность газа внутри.

Шаг 1 — выбираем тело и рисуем силы. Удобно считать одним телом оболочку вместе с газом внутри. Тогда давление газа на оболочку изнутри — внутренняя сила системы, в уравнение она не попадает. Внешних сил три: сила Архимеда $F_{\text{А}}$ вверх (её создаёт окружающий воздух), сила тяжести оболочки $Mg$ вниз и сила тяжести газа $m_{\text{г}}g$ вниз.

Шаг 2 — второй закон Ньютона. Шар висит неподвижно, значит его ускорение равно нулю, и сумма сил тоже равна нулю. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$$F_{\text{А}}-Mg-m_{\text{г}}g=0.$$

Шаг 3 — расписываем силы. Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха. Вытесняет воздух весь шар объёмом $V$ (оболочка тонкая, её собственным объёмом пренебрегаем), а плотность берём окружающего воздуха:

$$F_{\text{А}}=\rho gV.$$

Масса газа связана с его плотностью: газ заполняет весь объём шара, поэтому $m_{\text{г}}=\rho_{\text{г}}V$.

Шаг 4 — подставляем и выражаем плотность газа. Множитель $g$ стоит в каждом слагаемом, на него можно разделить:

$$\rho gV=Mg+\rho_{\text{г}}Vg\quad\Rightarrow\quad \rho V=M+\rho_{\text{г}}V\quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{г}}=\rho-\dfrac{M}{V}.$$

Шаг 5 — считаем. Сначала дробь: $\dfrac{M}{V}=\dfrac{400\ \text{кг}}{800\ \text{м}^3}=0{,}5\ \text{кг/м}^3$. Тогда

$$\rho_{\text{г}}=1{,}2-0{,}5=0{,}7\ \text{кг/м}^3.$$

Проверим себя через массы. Воздух в объёме шара весил бы $1{,}2\cdot800=960$ кг. Газ внутри весит $0{,}7\cdot800=560$ кг, вместе с оболочкой $560+400=960$ кг — ровно столько, сколько вытеснено воздуха, поэтому шар и висит на месте. И по смыслу всё верно: газ внутри легче окружающего воздуха (например, это нагретый воздух), иначе шар не удержал бы даже собственную оболочку.