Задание 26 ЕГЭ по физике №00045244

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Шар массой $M$ имеет малые размеры по сравнению с размерами нити, а пуля ещё меньше, поэтому описываем груз и пулю моделью материальной точки. После соударения систему тел «пуля + шарик» также будем описывать моделью материальной точки. Относительно ИСО можно записать второй закон Ньютона.

3. Так как изменение механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае такой силой является только сила натяжения нити (сопротивлением воздуха пренебрегаем, трения нет), при этом в любой точке траектории сила натяжения нити перпендикулярна скорости, поэтому работа этой силы равняется нулю и полная механическая энергия системы тел «пуля + шарик» при его движении после удара сохраняется.

4. Так как рассматриваем ИСО, то применим второй закон Ньютона, также применим закон сохранения импульса в горизонтальном направлении, поскольку момент соударения мгновенный и в горизонтальном направлении не действуют никакие внешние силы.

5. Система тел «пуля + шарик» движется по окружности и обладает центростремительным ускорением, направленным к центру окружности вращения. Условием прохождения верхней точки является натяжение нити. Для того чтобы нить не провисла, должно выполняться условие, что сила натяжения больше либо равна 0. Крайним случаем будет являться $T = 0$, будем рассматривать это условие.

Дано:

$l = 50$ см

$v_0 = 300$ м/с

$m = 10$ г

СИ:

$l = 0{,}5$ м

$m = 0{,}01$ кг

Найти:

$M$ — ?

Пусть начальная скорость пули $v_0$, $v_1$ — скорость составного тела после удара. На рисунке покажем силы, действующие на пулю и шарик в наивысшей точке.

Запишем закон сохранения импульса в момент удара:

$m\vec{v}_0 = (m + M)\vec{v}_1$

В проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль $\vec{v}_0$:

$mv_0 = (m + M)v_1$

и закон сохранения энергии после удара и до подъёма на максимальную высоту:

$\dfrac{(m + M)v_1^2}{2} = \dfrac{(m + M)v_2^2}{2} + (m + M)g \cdot 2l$

где $v_1$ — скорость пули и шарика после удара, $v_2$ — скорость в наивысшей точке, $M$ — масса шарика.

Кроме того, максимальность массы шара означает, что в наивысшей точке сила натяжения нити обращается в ноль (но только в наивысшей). Запишем второй закон Ньютона в наивысшей точке:

$(m + M)\vec{g} + \vec{T} = (m + M)\vec{a}_ц, \quad \vec{T} = \vec{0}$

В проекции на ось $Oy$, направленную вертикально вниз, к центру окружности:

$(m + M)g = (m + M)a_ц \Rightarrow (m + M)g = \dfrac{(m + M)v_2^2}{l} \Rightarrow v_2^2 = gl$

Подставим $v_2$ в закон сохранения энергии и выразим $v_1$:

$v_1 = \sqrt{gl + 4gl} = \sqrt{5gl}$

Из закона сохранения импульса найдём массу шарика:

$M = m\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{5gl}} - 1\right) = 0{,}01\ кг\left(\dfrac{300\ м/с}{\sqrt{5 \cdot 10\ Н/кг \cdot 0{,}5\ м}} - 1\right) = 0{,}59\ кг = 590$ г