ID: 00026643
Снаряд в полёте разорвался на два равных осколка, один из которых продолжил движение по направлению движения снаряда, а другой – в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков возросла за счёт энергии взрыва на величину 0,5 МДж. Модуль скорости осколка, движущегося по направлению движения снаряда, равен 900 м/с, а модуль скорости второго осколка равен 100 м/с. Найдите массу снаряда. Сопротивлением воздуха и массой порохового заряда можно пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Летящий снаряд разрывается ровно пополам: два осколка одинаковой массы. Один продолжает лететь вперёд со скоростью $\upsilon_1=900$ м/с, второй отбрасывает назад со скоростью $\upsilon_2=100$ м/с. Взрыв добавил системе кинетической энергии на $\Delta E=0{,}5$ МДж $=5\cdot 10^{5}$ Дж. Надо найти массу снаряда $m$.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — инерциальную. Снаряд и осколки считаем материальными точками (их размеры и вращение для расчёта импульса и кинетической энергии не важны). Разрыв — процесс очень быстрый: за это время сила тяжести и сопротивление воздуха изменить импульс системы не успевают (по условию сопротивлением воздуха вообще пренебрегаем, а массой порохового заряда — тоже), поэтому систему «снаряд → два осколка» в момент разрыва считаем замкнутой и применяем закон сохранения импульса. Механическая энергия здесь не сохраняется: взрыв добавляет энергию, и по условию известно, на сколько именно — этим и пользуемся во втором уравнении. Все скорости направлены вдоль одной прямой (вперёд и назад), поэтому работаем с проекциями на неё.
Шаг 1 — обозначения. Пусть $m$ — масса снаряда, тогда масса каждого осколка равна $\dfrac{m}{2}$. Пусть $\upsilon$ — скорость снаряда перед разрывом. Ось направим по движению снаряда: тогда первый осколок имеет проекцию $+900$ м/с, второй $-100$ м/с.
Шаг 2 — закон сохранения импульса. $$m\upsilon=\frac{m}{2}\upsilon_1-\frac{m}{2}\upsilon_2\ \Longrightarrow\ \upsilon=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}=\frac{900-100}{2}=400\ \text{м/с}.$$ Масса сократилась — скорость снаряда нашлась «бесплатно».
Шаг 3 — прирост кинетической энергии. Энергия после разрыва минус энергия до разрыва: $$\Delta E=\frac{m}{2}\cdot\frac{\upsilon_1^2}{2}+\frac{m}{2}\cdot\frac{\upsilon_2^2}{2}-\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m}{4}\left(\upsilon_1^2+\upsilon_2^2\right)-\frac{m\upsilon^2}{2}.$$
Шаг 4 — подставляем числа. $\upsilon_1^2+\upsilon_2^2=810000+10000=820000$ м²/с², $\upsilon^2=160000$ м²/с². Тогда $$\Delta E=m\left(\frac{820000}{4}-\frac{160000}{2}\right)=m\left(205000-80000\right)=125000\,m.$$
Шаг 5 — находим массу. $$m=\frac{\Delta E}{125000}=\frac{5\cdot 10^{5}}{1{,}25\cdot 10^{5}}=4\ \text{кг}.$$
Проверим себя: снаряд массой $4$ кг летел со скоростью $400$ м/с, его энергия $\dfrac{4\cdot 400^2}{2}=320$ кДж. После разрыва: $\dfrac{2\cdot 900^2}{2}+\dfrac{2\cdot 100^2}{2}=810+10=820$ кДж. Разница ровно $500$ кДж $=0{,}5$ МДж — как в условии. Сходится.