Задание 26 ЕГЭ по физике №00043208

Что происходит: летящий снаряд разрывается на две равные половины. Одна летит вперёд со скоростью $900$ м/с, другая — назад со скоростью $100$ м/с. Взрыв добавил осколкам кинетической энергии $\Delta E=600$ кДж. Нужно найти массу снаряда $m$.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Снаряд и осколки — материальные точки (их размеры малы по сравнению с перемещениями). Разрыв происходит практически мгновенно: силы взрыва — внутренние для системы «осколки», а внешняя сила тяжести за малое время разрыва почти не меняет импульс, сопротивлением воздуха за это время пренебрегаем. Поэтому импульс системы сразу до и сразу после разрыва одинаков. Механическая энергия не сохраняется — к кинетической энергии добавляется энергия взрыва $\Delta E$; это учитываем законом изменения энергии.

Шаг 1 — скорость снаряда до разрыва. Ось направим по движению снаряда. Масса каждого осколка $\dfrac m2$, проекция скорости второго осколка отрицательна. Закон сохранения импульса: $$mv_0=\frac m2\cdot900-\frac m2\cdot100\quad\Rightarrow\quad v_0=\frac{900-100}{2}=400\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — энергия. Кинетическая энергия осколков после разрыва равна энергии снаряда до разрыва плюс энергия взрыва: $$\frac{m}{2}\cdot\frac{900^2}{2}+\frac m2\cdot\frac{100^2}{2}=\frac{mv_0^2}{2}+\Delta E.$$ В энергии знак скорости не важен — скорость стоит в квадрате.

Шаг 3 — считаем. Левая часть: $\dfrac m4(810\,000+10\,000)=205\,000\,m$. Правая: $\dfrac{m\cdot400^2}{2}+\Delta E=80\,000\,m+\Delta E$. Отсюда $$125\,000\,m=\Delta E=600\,000\ \text{Дж}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{600\,000}{125\,000}=4{,}8\ \text{кг}.$$

Проверим себя вторым способом — в системе отсчёта, которая движется вместе со снарядом со скоростью $400$ м/с. В ней снаряд до разрыва покоится, а осколки разлетаются с равными по модулю скоростями: $900-400=500$ м/с и $-100-400=-500$ м/с. Вся их кинетическая энергия в этой системе — энергия взрыва: $2\cdot\dfrac{m}{2}\cdot\dfrac{500^2}{2}=125\,000\,m=600\,000$ Дж, снова $m=4{,}8$ кг.