Задание 26 ЕГЭ по физике №00045243

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Лягушка движется поступательно, её размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тело моделью материальной точки.

3. Поскольку в горизонтальном направлении на систему тел «лягушка + доска» не действуют никакие внешние силы (поверхность гладкая, сила тяжести и сила реакции опоры направлены вертикально), то выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

4. По вертикали лягушка движется равноускоренно с ускорением $\vec{g}$ под действием силы тяжести, движение по вертикали будем описывать формулами кинематики равноускоренного движения.

5. После прыжка на доску в горизонтальном направлении силы не действуют (поверхность гладкая), поэтому доска движется равномерно.

Дано:

$m = 100$ г

$M = 900$ г

$l = 50$ см

$\alpha = 15^\circ$

СИ:

$m = 0{,}1$ кг

$M = 0{,}9$ кг

$l = 0{,}5$ м

Найти:

$v_0$ — ?

Пусть за время полёта доска сместится на $x$, $M$ — масса доски, $m$ — масса лягушки, $l$ — длина доски, $v_0$ — начальная скорость лягушки, $\alpha = 15^\circ$.

Запишем закон сохранения импульса. До прыжка лягушка и доска покоятся, импульс системы равен нулю:

$\vec{0} = m\vec{v}_0 + M\vec{u}$

Направим ось $Ox$ горизонтально в сторону прыжка лягушки. Доска после прыжка движется в противоположную сторону. В проекции на ось $Ox$:

$0 = mv_0\cos\alpha - Mu \Rightarrow mv_0\cos\alpha = Mu, \quad (1)$

где $u$ — модуль скорости доски после прыжка.

Воспользуемся уравнениями кинематики. По горизонтали лягушка должна пройти $l - x$, тогда

$l - x = v_0\cos\alpha \cdot \tau,$

где $\tau$ — время полёта.

Время полёта можно найти из уравнения

$h(t) = v_0\sin\alpha \cdot t - \dfrac{gt^2}{2},$

где $h(t)$ — высота над доской.

При этом при $t = \tau$ и $h(\tau) = 0$, тогда

$\tau = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}. \quad (2)$

Откуда

$l - x = \dfrac{v_0\cos\alpha \cdot 2v_0\sin\alpha}{g} = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} \quad (3)$

Движение доски является равномерным, тогда если доска прошла $x$, то должно выполняться равенство

$\dfrac{x}{u} = \tau$

или с учётом (2)

$\dfrac{x}{u} = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g} \quad (4)$

Объединим (1) и (4):

$x = \dfrac{2v_0 \cdot mv_0\cos\alpha \cdot \sin\alpha}{Mg} = \dfrac{mv_0^2\sin 2\alpha}{Mg} \Rightarrow v_0^2 = \dfrac{Mgx}{m\sin 2\alpha}$

Из (3) выразим $v_0^2$:

$v_0^2 = \dfrac{g(l - x)}{\sin 2\alpha}.$

Приравняем два последних уравнения:

$\dfrac{Mgx}{m} = g(l - x)$

Тогда

$x = \dfrac{ml}{M + m}$

Подставим $x$ в формулу для $v_0$ ($\sin 2\alpha = \sin 30^\circ = 0{,}5$):

$v_0 = \sqrt{\dfrac{g(l - x)}{\sin 2\alpha}} = \sqrt{\dfrac{Mgl}{(M + m)\sin 2\alpha}} =$

$= \sqrt{\dfrac{0{,}9\ кг \cdot 10\ м/с^2 \cdot 0{,}5\ м}{(0{,}9\ кг + 0{,}1\ кг) \cdot 0{,}5}} = 3$ м/с