Задание 26 ЕГЭ по физике №00026645

Что нарисовано. На закреплённой сфере на самой макушке (точка $A$) лежит маленький груз $m=100$ г $=0{,}1$ кг. От него через поверхность сферы перекинута лёгкая нерастяжимая нить, второй конец которой свисает сбоку, и на нём висит груз $M$. Всё это в одной вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы. Систему отпускают: $M$ тянет нить вниз, груз $m$ сползает по сфере. Пройдя по сфере дугу в $30^\circ$, груз $m$ отрывается от поверхности. Надо найти $M$.

Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — инерциальную. Размеры груза $m$ ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы, поэтому оба груза считаем материальными точками. Нить лёгкая и нерастяжимая, она лежит на сфере и трения нет — значит модули скоростей обоих грузов в любой момент одинаковы: сколько нити «сползло» по дуге, на столько же опустился груз $M$. Трения нет ни между грузом и сферой, ни между нитью и сферой, а сила нормальной реакции сферы перпендикулярна скорости груза $m$ и работы не совершает — поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. Пока груз $m$ прижат к сфере, он движется по окружности радиуса $R$, и для него в проекции на радиус (к центру) работает второй закон Ньютона с центростремительным ускорением $\dfrac{\upsilon^2}{R}$; сила натяжения нити направлена по касательной и в радиальную проекцию не входит. Момент отрыва — это момент, когда сила реакции сферы обращается в ноль.

Шаг 1 — обозначения и геометрия. Пусть $R$ — радиус сферы, $\theta=30^\circ$ — угол, на который сместился груз $m$ от вершины (отсчитывается от центра сферы), $\upsilon$ — общая скорость грузов в момент отрыва. Груз $m$ опустился на $R(1-\cos\theta)$. Груз $M$ опустился на длину сползшей нити, то есть на длину дуги $R\theta$ (угол в радианах!).

Шаг 2 — условие отрыва. Для груза $m$ в проекции на направление к центру сферы: $mg\cos\theta-N=\dfrac{m\upsilon^2}{R}$. В момент отрыва $N=0$, значит $$\upsilon^2=gR\cos\theta.$$

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Оба груза опустились, оба разогнались до скорости $\upsilon$: $$MgR\theta+mgR(1-\cos\theta)=\frac{(M+m)\upsilon^2}{2}.$$

Шаг 4 — подставляем $\upsilon^2$. Сокращаем $gR$: $$M\theta+m(1-\cos\theta)=\frac{(M+m)\cos\theta}{2}.$$ Собираем $M$ в одну сторону: $$M\left(\theta-\frac{\cos\theta}{2}\right)=m\left(\frac{3\cos\theta}{2}-1\right)\ \Longrightarrow\ M=m\cdot\frac{1{,}5\cos\theta-1}{\theta-0{,}5\cos\theta}.$$

Шаг 5 — числа. При $\theta=30^\circ$: в радианах $\theta=\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}524$, $\cos 30^\circ\approx 0{,}866$. Числитель: $1{,}5\cdot 0{,}866-1=0{,}299$. Знаменатель: $0{,}524-0{,}433=0{,}091$. Тогда $$M\approx 0{,}1\cdot\frac{0{,}299}{0{,}091}\approx 0{,}1\cdot 3{,}3\approx 0{,}33\ \text{кг}.$$

Главная ловушка тут — угол в радианах: путь груза $M$ — это длина дуги $R\theta$, а длина дуги считается только через радианную меру. Если подставить $30$ вместо $0{,}524$, ответ развалится.