Задание 26 ЕГЭ по физике: Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой нерастяжимой…

Что нарисовано. На закреплённой сфере на самой макушке (точка A) лежит маленький груз m=100 г =0{,}1 кг. От него через поверхность сферы перекинута лёгкая нерастяжимая нить, второй конец которой свисает сбоку, и на нём висит груз M. Всё это в одной вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы. Систему отпускают: M тянет нить вниз, груз m сползает по сфере. Пройдя по сфере дугу в 30^\circ, груз m отрывается от поверхности. Надо найти M.

Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — инерциальную. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы, поэтому оба груза считаем материальными точками. Нить лёгкая и нерастяжимая, она лежит на сфере и трения нет — значит модули скоростей обоих грузов в любой момент одинаковы: сколько нити «сползло» по дуге, на столько же опустился груз M. Трения нет ни между грузом и сферой, ни между нитью и сферой, а сила нормальной реакции сферы перпендикулярна скорости груза m и работы не совершает — поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. Пока груз m прижат к сфере, он движется по окружности радиуса R, и для него в проекции на радиус (к центру) работает второй закон Ньютона с центростремительным ускорением \dfrac{\upsilon^2}{R}; сила натяжения нити направлена по касательной и в радиальную проекцию не входит. Момент отрыва — это момент, когда сила реакции сферы обращается в ноль.

Шаг 1 — обозначения и геометрия. Пусть R — радиус сферы, \theta=30^\circ — угол, на который сместился груз m от вершины (отсчитывается от центра сферы), \upsilon — общая скорость грузов в момент отрыва. Груз m опустился на R(1-\cos\theta). Груз M опустился на длину сползшей нити, то есть на длину дуги R\theta (угол в радианах!).

Шаг 2 — условие отрыва. Для груза m в проекции на направление к центру сферы: mg\cos\theta-N=\dfrac{m\upsilon^2}{R}. В момент отрыва N=0, значит \upsilon^2=gR\cos\theta.

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Оба груза опустились, оба разогнались до скорости \upsilon: MgR\theta+mgR(1-\cos\theta)=\frac{(M+m)\upsilon^2}{2}.

Шаг 4 — подставляем \upsilon^2. Сокращаем gR: M\theta+m(1-\cos\theta)=\frac{(M+m)\cos\theta}{2}. Собираем M в одну сторону: M\left(\theta-\frac{\cos\theta}{2}\right)=m\left(\frac{3\cos\theta}{2}-1\right)\ \Longrightarrow\ M=m\cdot\frac{1{,}5\cos\theta-1}{\theta-0{,}5\cos\theta}.

Шаг 5 — числа. При \theta=30^\circ: в радианах \theta=\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}524, \cos 30^\circ\approx 0{,}866. Числитель: 1{,}5\cdot 0{,}866-1=0{,}299. Знаменатель: 0{,}524-0{,}433=0{,}091. Тогда M\approx 0{,}1\cdot\frac{0{,}299}{0{,}091}\approx 0{,}1\cdot 3{,}3\approx 0{,}33\ \text{кг}.

Главная ловушка тут — угол в радианах: путь груза M — это длина дуги R\theta, а длина дуги считается только через радианную меру. Если подставить 30 вместо 0{,}524, ответ развалится.