Задание 26 ЕГЭ по физике: Два шарика, массы которых m равно 0, 1 кг и M равно 0, 2 кг,…

Сначала разберёмся с картинкой. Два шарика висят рядом на нитях и касаются друг друга. Левый шарик — это лёгкий шарик массой m=0{,}1 кг (на рисунке он подписан слева), правый — тяжёлый M=0{,}2 кг. Левый отводят на 90^\circ (нить становится горизонтальной) и отпускают без начальной скорости. Он проходит по дуге вниз, в нижней точке налетает на неподвижный шарик M и слипается с ним — удар абсолютно неупругий. Часть механической энергии при этом уходит в тепло Q, часть остаётся кинетической энергией E_{\text{к}} слипшихся шариков. Надо найти отношение Q/E_{\text{к}}.

Обоснуем модель. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — она инерциальная. Шарики маленькие, считаем их материальными точками, нити невесомы и нерастяжимы, поэтому шарик движется по дуге окружности, а в нижней точке его скорость горизонтальна. На спуске сопротивления воздуха нет, а натяжение нити перпендикулярно скорости и работы не совершает — значит, до удара выполняется закон сохранения механической энергии. Сам удар абсолютно неупругий: шарики после него движутся как одно тело с общей скоростью. Удар кратковременный, за время удара внешние силы (тяжесть и натяжения нитей — они в этот момент вертикальны) горизонтального импульса системе не сообщают, поэтому по горизонтали система замкнута и применим закон сохранения импульса. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется — её убыль и есть выделившаяся теплота Q (это закон сохранения энергии в общем виде).

Шаг 1 — скорость перед ударом. Обозначим длину нити l, а скорость левого шарика в нижней точке — v. Отклонение на 90^\circ означает, что шарик поднят над нижней точкой ровно на l. Сохранение энергии: mgl=\frac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v^2=2gl. Само число l в условии не дано, но, как мы сейчас увидим, оно сократится.

Шаг 2 — удар. Пусть u — общая скорость слипшихся шариков сразу после удара. Закон сохранения импульса по горизонтали: mv=(m+M)u\quad\Rightarrow\quad u=\frac{mv}{m+M}.

Шаг 3 — кинетическая энергия после удара. E_{\text{к}}=\frac{(m+M)u^2}{2}=\frac{(m+M)}{2}\cdot\frac{m^2v^2}{(m+M)^2}=\frac{m^2v^2}{2(m+M)}.

Шаг 4 — сколько тепла выделилось. Теплота — это разность кинетической энергии до и после удара: Q=\frac{mv^2}{2}-E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}-\frac{m^2v^2}{2(m+M)}=\frac{mv^2}{2}\cdot\frac{m+M-m}{m+M}=\frac{mMv^2}{2(m+M)}.

Шаг 5 — отношение. Делим одно на другое, и всё лишнее уходит: \frac{Q}{E_{\text{к}}}=\frac{mMv^2}{2(m+M)}\cdot\frac{2(m+M)}{m^2v^2}=\frac{M}{m}. Ни длина нити, ни угол отклонения, ни g в ответ не входят — только отношение масс.

Шаг 6 — число. \frac{Q}{E_{\text{к}}}=\frac{0{,}2}{0{,}1}=2.

Проверим себя на смысл: неподвижный шарик вдвое тяжелее налетающего, «раскачать» такую тяжёлую пару трудно, поэтому в движение уходит только треть исходной энергии, а две трети превращаются в тепло — отношение и получается 2.