Задание 26 ЕГЭ по физике №00026655

Сначала разберёмся с картинкой. Два шарика висят рядом на нитях и касаются друг друга. Левый шарик — это лёгкий шарик массой $m=0{,}1$ кг (на рисунке он подписан слева), правый — тяжёлый $M=0{,}2$ кг. Левый отводят на $90^\circ$ (нить становится горизонтальной) и отпускают без начальной скорости. Он проходит по дуге вниз, в нижней точке налетает на неподвижный шарик $M$ и слипается с ним — удар абсолютно неупругий. Часть механической энергии при этом уходит в тепло $Q$, часть остаётся кинетической энергией $E_{\text{к}}$ слипшихся шариков. Надо найти отношение $Q/E_{\text{к}}$.

Обоснуем модель. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — она инерциальная. Шарики маленькие, считаем их материальными точками, нити невесомы и нерастяжимы, поэтому шарик движется по дуге окружности, а в нижней точке его скорость горизонтальна. На спуске сопротивления воздуха нет, а натяжение нити перпендикулярно скорости и работы не совершает — значит, до удара выполняется закон сохранения механической энергии. Сам удар абсолютно неупругий: шарики после него движутся как одно тело с общей скоростью. Удар кратковременный, за время удара внешние силы (тяжесть и натяжения нитей — они в этот момент вертикальны) горизонтального импульса системе не сообщают, поэтому по горизонтали система замкнута и применим закон сохранения импульса. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется — её убыль и есть выделившаяся теплота $Q$ (это закон сохранения энергии в общем виде).

Шаг 1 — скорость перед ударом. Обозначим длину нити $l$, а скорость левого шарика в нижней точке — $v$. Отклонение на $90^\circ$ означает, что шарик поднят над нижней точкой ровно на $l$. Сохранение энергии: $$mgl=\frac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v^2=2gl.$$ Само число $l$ в условии не дано, но, как мы сейчас увидим, оно сократится.

Шаг 2 — удар. Пусть $u$ — общая скорость слипшихся шариков сразу после удара. Закон сохранения импульса по горизонтали: $$mv=(m+M)u\quad\Rightarrow\quad u=\frac{mv}{m+M}.$$

Шаг 3 — кинетическая энергия после удара. $$E_{\text{к}}=\frac{(m+M)u^2}{2}=\frac{(m+M)}{2}\cdot\frac{m^2v^2}{(m+M)^2}=\frac{m^2v^2}{2(m+M)}.$$

Шаг 4 — сколько тепла выделилось. Теплота — это разность кинетической энергии до и после удара: $$Q=\frac{mv^2}{2}-E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}-\frac{m^2v^2}{2(m+M)}=\frac{mv^2}{2}\cdot\frac{m+M-m}{m+M}=\frac{mMv^2}{2(m+M)}.$$

Шаг 5 — отношение. Делим одно на другое, и всё лишнее уходит: $$\frac{Q}{E_{\text{к}}}=\frac{mMv^2}{2(m+M)}\cdot\frac{2(m+M)}{m^2v^2}=\frac{M}{m}.$$ Ни длина нити, ни угол отклонения, ни $g$ в ответ не входят — только отношение масс.

Шаг 6 — число. $$\frac{Q}{E_{\text{к}}}=\frac{0{,}2}{0{,}1}=2.$$

Проверим себя на смысл: неподвижный шарик вдвое тяжелее налетающего, «раскачать» такую тяжёлую пару трудно, поэтому в движение уходит только треть исходной энергии, а две трети превращаются в тепло — отношение и получается $2$.