ID: 00026644
Пружинное ружьё наклонено под углом α к горизонту. Энергия сжатой пружины равна E . При выстреле шарик проходит по стволу ружья расстояние b , вылетает и падает на расстоянии L от дула ружья в точке М , находящейся с ним на одной высоте (см. рисунок). Найдите массу шарика m . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет. Ружьё наклонено под углом $\alpha$ к горизонту, в нём сжата пружина с энергией $E$. При выстреле шарик едет по стволу расстояние $b$ (и за это время поднимается вдоль наклона), вылетает из дула и по параболе улетает в точку $M$, которая находится на той же высоте, что и дуло, на расстоянии $L$ от него. Найти массу шарика.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — инерциальную. Шарик мал, вращения нет, поэтому считаем его материальной точкой. Трения в стволе нет и сопротивления воздуха нет — значит на всём пути (и в стволе, и в полёте) на шарик действуют только сила тяжести и упругость пружины, обе они консервативны, поэтому применим закон сохранения механической энергии: вся энергия сжатой пружины уходит на кинетическую энергию шарика в момент вылета плюс на его подъём внутри ствола. Пружину и ствол считаем лёгкими, отдачей закреплённого ружья пренебрегаем. После вылета шарик — тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту: горизонтальная скорость постоянна, вертикальная меняется с ускорением $g$, а раз точка $M$ на одной высоте с дулом, работает обычная формула дальности.
Шаг 1 — обозначения. Пусть $m$ — масса шарика, $\upsilon$ — его скорость в момент вылета из дула. Внутри ствола шарик поднимается на высоту $h=b\sin\alpha$ (ствол наклонён под углом $\alpha$, а путь по стволу равен $b$).
Шаг 2 — энергия. Энергия сжатой пружины целиком переходит в кинетическую энергию шарика и в его потенциальную энергию подъёма по стволу: $$E=\frac{m\upsilon^2}{2}+mgb\sin\alpha.$$
Шаг 3 — дальность полёта. Точка $M$ лежит на одной высоте с дулом, поэтому дальность броска под углом $\alpha$: $$L=\frac{\upsilon^2\sin 2\alpha}{g}\ \Longrightarrow\ \upsilon^2=\frac{gL}{\sin 2\alpha}.$$
Шаг 4 — подставляем скорость в энергию. $$E=\frac{m}{2}\cdot\frac{gL}{\sin 2\alpha}+mgb\sin\alpha=mg\left(\frac{L}{2\sin 2\alpha}+b\sin\alpha\right).$$
Шаг 5 — выражаем массу. $$m=\frac{E}{g\left(\dfrac{L}{2\sin 2\alpha}+b\sin\alpha\right)}=\frac{2E\sin 2\alpha}{g\left(L+2b\sin\alpha\sin 2\alpha\right)}.$$
Проверка на здравый смысл: если бы ствол был совсем коротким ($b\to 0$), вся энергия пружины ушла бы в скорость, и формула превратилась бы в $m=\dfrac{2E\sin 2\alpha}{gL}$. Наличие длинного ствола «отъедает» часть энергии на подъём шарика, поэтому при той же дальности масса получается меньше — знаменатель растёт.