Задание 26 ЕГЭ по физике №00026654

Разберём сюжет. На нити длиной $l=50\ \text{см}=0{,}5$ м висит шар массой $M=250\ \text{г}=0{,}25$ кг. В него горизонтально влетает пуля массой $m=10\ \text{г}=0{,}01$ кг и застревает внутри. Шар с пулей получает скорость и начинает крутиться на нити в вертикальной плоскости. Нужно найти наименьшую скорость пули, при которой шар сделает полный оборот, а не остановится где-то на полпути.

Обоснуем модель. Задача честно распадается на два разных этапа, и в каждом работает свой закон. Этап удара: пуля вязнет в шаре, это абсолютно неупругий удар. Он длится ничтожно малое время, за которое внешние силы (тяжесть и натяжение нити) не успевают дать заметный импульс, а тела не успевают сместиться. Поэтому в момент удара систему «пуля + шар» считаем замкнутой по горизонтали и применяем закон сохранения импульса. Механическая энергия при таком ударе НЕ сохраняется: часть уходит на нагрев и деформацию — поэтому применять закон сохранения энергии к самому удару нельзя. Этап после удара: сопротивления воздуха нет, натяжение нити всегда перпендикулярно скорости и работы не совершает, поэтому полная механическая энергия шара с пулей сохраняется. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — она инерциальная. Шар и пулю считаем материальными точками (шар маленький, размеры много меньше длины нити), нить — невесомой и нерастяжимой, так что тело движется по окружности радиуса $l$. Важное свойство именно нити: она умеет только тянуть и не умеет толкать, поэтому в верхней точке натяжение не может быть отрицательным — отсюда и берётся условие «минимальности».

Шаг 1 — условие полного оборота. В верхней точке на шар с пулей действуют вниз тяжесть $(M+m)g$ и натяжение нити $T$ (тоже вниз, к центру). Второй закон Ньютона для движения по окружности: $$(M+m)g+T=\frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{l}.$$ Нить не может толкать, значит $T\ge0$. Наименьшая допустимая скорость наверху получается при $T=0$: $$v_{\text{в}}^2=gl.$$ Здесь $v_{\text{в}}$ — скорость в верхней точке.

Шаг 2 — энергия от нижней точки до верхней. После удара шар с пулей имеет внизу скорость $u$. Поднимаясь на высоту $2l$, тело теряет кинетическую энергию и набирает потенциальную: $$\frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)g\cdot2l+\frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{2}.$$ Масса сокращается: $u^2=4gl+v_{\text{в}}^2$. Подставляем $v_{\text{в}}^2=gl$: $$u^2=5gl\quad\Rightarrow\quad u=\sqrt{5gl}.$$

Шаг 3 — считаем скорость сразу после удара. $u=\sqrt{5\cdot10\cdot0{,}5}=\sqrt{25}=5\ \text{м/с}.$

Шаг 4 — возвращаемся к удару. До удара двигалась только пуля со скоростью $v$, после удара шар с застрявшей пулей движется вместе со скоростью $u$. Закон сохранения импульса в проекции на горизонталь: $$mv=(M+m)u\quad\Rightarrow\quad v=\frac{(M+m)u}{m}.$$

Шаг 5 — число. $$v=\frac{(0{,}25+0{,}01)\cdot5}{0{,}01}=\frac{0{,}26\cdot5}{0{,}01}=\frac{1{,}3}{0{,}01}=130\ \text{м/с}.$$

И всё сходится: пуля в $26$ раз легче шара с пулей, поэтому её скорость должна быть в $26$ раз больше нужных $5$ м/с. При меньшей скорости шар не доберётся до верха с нужным запасом, нить провиснет и тело сойдёт с окружности.