ID: 00026654
В маленький шар массой M = 250 г , висящий на нити длиной l = 50 см , попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля массой m = 10 г . При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет. На нити длиной l=50\ \text{см}=0{,}5 м висит шар массой M=250\ \text{г}=0{,}25 кг. В него горизонтально влетает пуля массой m=10\ \text{г}=0{,}01 кг и застревает внутри. Шар с пулей получает скорость и начинает крутиться на нити в вертикальной плоскости. Нужно найти наименьшую скорость пули, при которой шар сделает полный оборот, а не остановится где-то на полпути.
Обоснуем модель. Задача честно распадается на два разных этапа, и в каждом работает свой закон. Этап удара: пуля вязнет в шаре, это абсолютно неупругий удар. Он длится ничтожно малое время, за которое внешние силы (тяжесть и натяжение нити) не успевают дать заметный импульс, а тела не успевают сместиться. Поэтому в момент удара систему «пуля + шар» считаем замкнутой по горизонтали и применяем закон сохранения импульса. Механическая энергия при таком ударе НЕ сохраняется: часть уходит на нагрев и деформацию — поэтому применять закон сохранения энергии к самому удару нельзя. Этап после удара: сопротивления воздуха нет, натяжение нити всегда перпендикулярно скорости и работы не совершает, поэтому полная механическая энергия шара с пулей сохраняется. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — она инерциальная. Шар и пулю считаем материальными точками (шар маленький, размеры много меньше длины нити), нить — невесомой и нерастяжимой, так что тело движется по окружности радиуса l. Важное свойство именно нити: она умеет только тянуть и не умеет толкать, поэтому в верхней точке натяжение не может быть отрицательным — отсюда и берётся условие «минимальности».
Шаг 1 — условие полного оборота. В верхней точке на шар с пулей действуют вниз тяжесть (M+m)g и натяжение нити T (тоже вниз, к центру). Второй закон Ньютона для движения по окружности: (M+m)g+T=\frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{l}. Нить не может толкать, значит T\ge0. Наименьшая допустимая скорость наверху получается при T=0: v_{\text{в}}^2=gl. Здесь v_{\text{в}} — скорость в верхней точке.
Шаг 2 — энергия от нижней точки до верхней. После удара шар с пулей имеет внизу скорость u. Поднимаясь на высоту 2l, тело теряет кинетическую энергию и набирает потенциальную: \frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)g\cdot2l+\frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{2}. Масса сокращается: u^2=4gl+v_{\text{в}}^2. Подставляем v_{\text{в}}^2=gl: u^2=5gl\quad\Rightarrow\quad u=\sqrt{5gl}.
Шаг 3 — считаем скорость сразу после удара. u=\sqrt{5\cdot10\cdot0{,}5}=\sqrt{25}=5\ \text{м/с}.
Шаг 4 — возвращаемся к удару. До удара двигалась только пуля со скоростью v, после удара шар с застрявшей пулей движется вместе со скоростью u. Закон сохранения импульса в проекции на горизонталь: mv=(M+m)u\quad\Rightarrow\quad v=\frac{(M+m)u}{m}.
Шаг 5 — число. v=\frac{(0{,}25+0{,}01)\cdot5}{0{,}01}=\frac{0{,}26\cdot5}{0{,}01}=\frac{1{,}3}{0{,}01}=130\ \text{м/с}.
И всё сходится: пуля в 26 раз легче шара с пулей, поэтому её скорость должна быть в 26 раз больше нужных 5 м/с. При меньшей скорости шар не доберётся до верха с нужным запасом, нить провиснет и тело сойдёт с окружности.