Задание 22 ЕГЭ по физике №00045242

Дано:

$v_0 = 500$ м/с

$v_{пад} = 2v_0$

$t = 100$ с

$g = 10$ м/с²

Найти:

$\dfrac{m_1}{m_2}$ — ?

Направим ось $Oy$ вертикально вверх, начало отсчёта — на поверхности земли в точке выстрела.

По закону сохранения механической энергии определим высоту $h$ максимального подъёма снаряда:

$\dfrac{mv_0^2}{2} = mgh \Rightarrow h = \dfrac{v_0^2}{2g}$

При падении первого осколка также выполняется закон сохранения энергии. Его скорость при падении по условию $v_{пад} = 2v_0$:

$m_1gh + \dfrac{m_1v_1^2}{2} = \dfrac{m_1(2v_0)^2}{2}$

$2gh + v_1^2 = 4v_0^2$

где $v_1$ — модуль скорости первого осколка сразу после разрыва.

Выражаем $v_1$:

$v_1 = \sqrt{4v_0^2 - 2gh} = \sqrt{4v_0^2 - \dfrac{2gv_0^2}{2g}} = v_0\sqrt{3}$

Начальную скорость второго осколка $v_2$ найдём из уравнения движения в проекции на ось $Oy$:

$y(t) = h + v_2t - \dfrac{gt^2}{2} = 0$

В момент падения на землю $y(t) = 0$. Подставим $h = \dfrac{v_0^2}{2g}$:

$\dfrac{v_0^2}{2g} + v_2t - \dfrac{gt^2}{2} = 0$

Выразим $v_2$:

$v_2 = \dfrac{gt^2 - \dfrac{v_0^2}{g}}{2t} = \dfrac{g^2t^2 - v_0^2}{2gt}$

При заданных числах $v_2 > 0$, то есть второй осколок после разрыва полетел вверх.

В момент разрыва импульс сохраняется. Так как в верхней точке скорость снаряда равна нулю, суммарный импульс осколков равен нулю:

$\vec{0} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

Значит, первый осколок полетел вниз, против оси $Oy$. Проецируем на ось $Oy$:

$0 = -m_1v_1 + m_2v_2 \Rightarrow \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{v_2}{v_1}$

Подставим выражения для $v_1$ и $v_2$:

$\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{\dfrac{g^2t^2 - v_0^2}{2gt}}{v_0\sqrt{3}} = \dfrac{g^2t^2 - v_0^2}{2gtv_0\sqrt{3}}$

Подставим численные значения:

$\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{10^2 \cdot 100^2 - 500^2}{2 \cdot 10 \cdot 100 \cdot 500 \cdot \sqrt{3}} \approx 0{,}43$