Задание 22 ЕГЭ по физике №00045239

Дано:

$m_1 = 5$ кг

$m_2 = 10$ кг

$v_1 = 3$ м/с

Найти:

$E_{k1}$ — ?

Запишем систему, состоящую из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии:

$\begin{cases} \vec{p}1 = \vec{p}{k1} + \vec{p}{k2} \ E_1 = E{k1} + E_{k2} \end{cases}$

Направим ось $Ox$ вдоль начальной скорости первого шара. Первый шар после удара движется против оси, второй — вдоль оси. Запишем систему с учётом проекций векторов на ось $Ox$ (здесь $p_{k1}$ и $p_{k2}$ — модули импульсов):

$\begin{cases} p_1 = -p_{k1} + p_{k2} \ E_1 = E_{k1} + E_{k2} \end{cases}$

где $p_1$ и $E_1$ — импульс и кинетическая энергия первого шара до столкновения, $p_{k1}$ и $E_{k1}$ — импульс и кинетическая энергия первого шара после столкновения, а $p_{k2}$ и $E_{k2}$ — импульс и кинетическая энергия второго шара после столкновения.

Импульс находится по формуле:

$p = mv \quad (1)$

А кинетическая энергия тела:

$E = \dfrac{mv^2}{2} \quad (2)$

Подставим (1) и (2) в систему с учётом индексов:

$\begin{cases} m_1v_1 = -m_1v_{k1} + m_2v_{k2} \ \dfrac{m_1v_1^2}{2} = \dfrac{m_1v_{k1}^2}{2} + \dfrac{m_2v_{k2}^2}{2} \end{cases}$

Умножим на 2 второе уравнение:

$\begin{cases} m_1v_1 = -m_1v_{k1} + m_2v_{k2} \ m_1v_1^2 = m_1v_{k1}^2 + m_2v_{k2}^2 \end{cases}$

Перенесём слагаемые с $m_1$ в одну сторону, а с $m_2$ — в другую и вынесем массы за скобку:

$\begin{cases} m_1(v_1 + v_{k1}) = m_2v_{k2} \ m_1(v_1^2 - v_{k1}^2) = m_2v_{k2}^2 \end{cases}$

Во втором уравнении преобразуем разность квадратов:

$\begin{cases} m_1(v_1 + v_{k1}) = m_2v_{k2} \quad (3) \ m_1(v_1 - v_{k1})(v_1 + v_{k1}) = m_2v_{k2}^2 \quad (4) \end{cases}$

Поделим (4) на (3):

$\dfrac{m_1(v_1 - v_{k1})(v_1 + v_{k1})}{m_1(v_1 + v_{k1})} = \dfrac{m_2v_{k2}^2}{m_2v_{k2}} \Rightarrow v_{k2} = v_1 - v_{k1} \quad (5)$

Подставим (5) в (3) и выразим $v_{k1}$:

$m_1(v_1 + v_{k1}) = m_2(v_1 - v_{k1})$

$m_1v_1 + m_1v_{k1} = m_2v_1 - m_2v_{k1}$

$v_{k1} = \dfrac{v_1(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2} \quad (6)$

Подставим (6) в формулу для нахождения кинетической энергии первого шара после столкновения:

$E_{k1} = \dfrac{m_1v_{k1}^2}{2} = \dfrac{m_1}{2}\left(\dfrac{v_1(m_2 - m_1)}{m_2 + m_1}\right)^2$

Подставим численные значения:

$E_{k1} = \dfrac{5\ кг}{2}\left(\dfrac{3\ \dfrac{м}{с} \cdot (10\ кг - 5\ кг)}{10\ кг + 5\ кг}\right)^2 = 2{,}5$ Дж