Задание 22 ЕГЭ по физике №00045240

Дано:

$m_1 = 500$ г

$m_2 = 300$ г

$h = 0{,}8$ м

СИ:

$m_1 = 0{,}5$ кг

$m_2 = 0{,}3$ кг

Найти:

$v$ — ?

Способ I

Рассмотрим начальное состояние системы.

Скорость первого бруска равна нулю, следовательно, его кинетическая энергия равна нулю.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение тела $m_2$. Тогда полная механическая энергия первого бруска равна его потенциальной энергии:

$E_{01} = E_{п1} = m_1gh,$

где $E_{01}$ — полная энергия первого бруска в начале, $E_{п1}$ — потенциальная энергия первого бруска в начале.

Непосредственно перед столкновением у него будет скорость $v_1$, найдём её по закону сохранения энергии (в конечный момент потенциальная энергия бруска будет равна 0):

$E_{02} = E_{к2} = \dfrac{m_1v_1^2}{2},$

где $E_{02}$ — полная энергия первого бруска перед столкновением, $E_{к2}$ — кинетическая энергия первого бруска перед столкновением.

$E_{01} = E_{02}$

$v_1 = \sqrt{2gh}$

Чтобы найти скорость после столкновения, запишем закон сохранения импульса в момент столкновения:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Второй брусок до удара покоится: $\vec{v}_2 = \vec{0}$. Направим горизонтальную ось $Ox$ вдоль скорости $\vec{v}_1$ и запишем закон в проекции на неё:

$m_1v_1 = (m_1 + m_2)v$

$v = \dfrac{m_1v_1}{m_1 + m_2}$

Подставляя скорость $v_1$:

$v = \dfrac{m_1\sqrt{2gh}}{m_1 + m_2} = \dfrac{0{,}5\ кг \cdot \sqrt{2 \cdot 10\ \dfrac{м}{с^2} \cdot 0{,}8\ м}}{0{,}5\ кг + 0{,}3\ кг} = 2{,}5$ м/с

Способ II

Обозначим силы, действующие на бруски:

Рассмотрим движение первого бруска по гладкой наклонной плоскости до столкновения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$\vec{N} + m_1\vec{g} = m_1\vec{a}$

где $\vec{a}$ — ускорение бруска.

Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз и запишем второй закон Ньютона в проекции на неё ($\vec{N}$ перпендикулярна оси, её проекция равна нулю):

$m_1a = m_1g\sin\alpha \Rightarrow a = g\sin\alpha$

Для равноускоренного движения:

$S = \dfrac{v_1^2 - v_0^2}{2a}$

где $v_0$ — начальная скорость первого бруска, $v_1$ — скорость первого бруска перед столкновением, $S$ — путь, пройденный им вдоль наклонной плоскости. Брусок начинает движение из состояния покоя, $v_0 = 0$, тогда:

$v_1^2 = 2aS = 2gS\sin\alpha$

Так как высота наклонной плоскости равна $h$, то:

$\sin\alpha = \dfrac{h}{S}$

Подставим это выражение в формулу для скорости:

$v_1^2 = 2gS \cdot \dfrac{h}{S} = 2gh \Rightarrow v_1 = \sqrt{2gh}$

Теперь запишем закон сохранения импульса в момент неупругого столкновения:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Второй брусок до удара покоится: $\vec{v}_2 = \vec{0}$. В проекции на горизонтальную ось $Ox$, направленную вдоль скорости $\vec{v}_1$:

$m_1v_1 = (m_1 + m_2)v$

где $v$ — скорость брусков сразу после соударения. Тогда:

$v = \dfrac{m_1v_1}{m_1 + m_2} = \dfrac{m_1\sqrt{2gh}}{m_1 + m_2}$

Подставим численные значения:

$v = \dfrac{0{,}5\ кг \cdot \sqrt{2 \cdot 10\ \dfrac{м}{с^2} \cdot 0{,}8\ м}}{0{,}5\ кг + 0{,}3\ кг} = 2{,}5$ м/с