Статика

Задание №26. Механика. Задача с Обоснованием

№2. Задание 26

ID: 00043207

Однородный брусок $$AB$$ массой $$M$$ постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К правому концу бруска прикреплена невесомая нерастяжимая нить. Другой конец нити закреплён на меньшем из двух дисков невесомого составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая невесомая нерастяжимая нить, на которой висит груз массой $$m$$ . Диски скреплены друг с другом и образуют единое целое, $$R=15$$ см, $$r=6$$ см. Найдите максимальное значение дроби $\frac{m}{M}$ , при котором система тел остаётся неподвижной. Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на брусок, груз и блок. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Рисунок к заданию 26 ЕГЭ по физике — Статика

Источник: Сборник Демидовой 2026

Решение

Что происходит: однородный брусок массой $$M$$ лежит на гладком столе, конец $$B$$ свешивается с края (меньше чем наполовину). От $$B$$ вертикально вверх идёт нить к малому диску составного блока ( $$r=6$$ см), а с большого диска ( $$R=15$$ см) свисает груз $$m$$ . Чем тяжелее груз, тем сильнее нить тянет конец $$B$$ вверх. Ищем наибольшее значение $\dfrac mM$ , при котором всё ещё неподвижно.

Обоснование модели. Систему отсчёта, связанную со столом, считаем инерциальной. Груз — материальная точка: натяжение его нити равно $$mg$$ . Составной блок невесомый, трения в оси нет — равна нулю сумма моментов сил натяжения относительно оси. Брусок — абсолютно твёрдое тело: важны точки приложения сил, он может повернуться, поэтому записываем для него условие моментов. Нити невесомые и нерастяжимые: вдоль каждой нити натяжение одно и то же, но у двух разных нитей оно разное.

Рисунок сил. Груз: $m\vec g$ вниз, натяжение нити вверх. Блок: натяжение нити груза $$mg$$ на большом диске и натяжение $$T$$ нити бруска на малом диске (обе вниз), реакция оси. Брусок: $M\vec g$ в середине, $\vec T$ в точке $$B$$ вверх, реакция стола на опорной части вверх.

Шаг 1 — блок как рычаг. Его «плечи» — радиусы дисков: $Tr=mgR\quad\Rightarrow\quad T=mg\frac Rr=mg\cdot\frac{15}{6}=2{,}5\,mg.$

Шаг 2 — брусок. Силы на брусок вертикальны, поэтому сдвинуться по столу он не может. По мере роста $$T$$ реакция стола смещается к концу $$A$$ ; когда она целиком окажется в точке $$A$$ , конец $$B$$ начнёт подниматься — брусок повернётся вокруг $$A$$ . Условие покоя — моменты относительно $$A$$ (длина бруска $$L$$ ): $Mg\frac L2\ge TL\quad\Rightarrow\quad T\le\frac{Mg}{2}.$

Шаг 3 — собираем. $2{,}5\,mg\le\frac{Mg}2\quad\Rightarrow\quad\frac mM\le\frac{r}{2R}=\frac{6}{2\cdot15}=\frac{6}{30}=0{,}2.$ Наибольшее значение дроби $\dfrac mM$ равно $$0{,}2$$ .

Проверим себя. При $$m=0{,}2M$$ натяжение $T=2{,}5\cdot0{,}2Mg=0{,}5Mg$ , и моменты относительно $$A$$ равны: $0{,}5Mg\cdot L=Mg\cdot\dfrac L2$ — брусок на грани поворота. Длина свеса в ответ не вошла: важно лишь, что он меньше половины (тогда без нити брусок не падает со стола). Если бы мы сравнивали $$T$$ с полным весом бруска, получили бы вдвое больший и неверный ответ.

Ответ

0,2

Другие задания по теме «Статика» (8)